Rotació hiperbòlica
Entenem per
rotació hiperbòlica la isometria del pla
hiperbòlic que fixa un únic punt del pla. Obtenim la
rotació hiperbòlica a partir de la composició de
dues reflexions que es tallen en el punt fix de la isometria.
Per trobar la imatge d'un punt per una rotació
hiperbòlica a partir de la macro cal fixar un punt, que
serà el punt fix (el centre de la rotació) i l'angle de
la rotació. Per obtenir la rotació d'un punt seguim els
següents passos:
(1) Construïm el cercle hiperbòlic amb centre P i que passa pel punt Q que volem
transformar. La imatge del punt que busquem ha d'estar en aquest
cercle.
(2) Com que el model del semiplà és
conforme
amb el pla euclidià podem considerar la rotació
euclidiana amb centre P. El
punt del que hem de fer la rotació euclidiana el trobem a partir
de:
(3) Tracem la recta hiperbòlica que passa per
P i Q.
(4) Tracem la recta tangent a la recta
hiperbòlica per P.
(5) Tracem la perpendicular euclidiana a
la recta tangent per P.
(6) Considerem la intersecció de les
dues rectes dels passos anteriors.
(7) Fem la rotació euclidiana del punt
d'intersecció de (6) amb angle de rotació el fixat i
centre en el punt P.
(8) Tracem la recta euclidiana que conté P i el punt obtingut de la
rotació anterior. Aquesta és la recta tangent a la recta
hiperbòlica que conté la rotació
hiperbòlica de Q.
(9) Tracem la circumferència
euclidiana amb centre a la recta de l'infinit, que passa per P i té per tangent la recta
de (8).
(10) Considerem la intersecció de la
circumferència anterior amb la hiperbòlica traçada
a (1). Aquest punt és la imatge per la rotació de Q.
La macro que hem
creat també permet fer la rotació de
segments, triangles
i cercles hiperbòlics. Per construir aquestes eines simplement
hem trobat la imatge dels punts que defineixen cada un dels objectes
(del segment, els dos extrems; del triangle, els tres vèrtexs i
del cercle, el centre i un punt) i hem construït l'objecte imatge
a partir de la imatge dels punts.
Observem
que la
rotació dels cercles hiperbòlics amb centre el centre de
rotació són invariants, d'aquí el nom de
rotació hiperbòlica.
La
següent figura mostra la rotació d'un cercle amb centre
diferent del centre de rotació.
Geometria
hiperbòlica
Pàgina
principal
