- La transformada de Beurling és un cas particular d’operador de Calderón-Zygmund, i quan es treballa amb aquest tipus d’operadors sol ser fonamental saber com es comporten en actuar sobre constants. Si restringim l’estudi a dominis del pla \(\Omega\), ens interessa conèixer el comportament de \(B\chi_\Omega\). [2] En dominis prou bons, usant les propietats esmentades, es pot calcular explícitament la funció \(B\chi_\Omega\). Per exemple quan \(\Omega=\mathbb D\) la seva transformada és \(0\) a l’interior del disc i es coneix el seu valor també sobre el complementari. [1] Aplicarem aquests coneixements a l’estudi d’el·lipses, paràboles i dominis de vora polinomial, per la qual cosa ens convindrà estendre les definicions a \(BMO(\mathbb C)\). [3]
- La composició amb aplicacions quasiconformes que tenen certa regularitat preserva la integrabilitat de les derivades amb una certa pèrdua a l’exponent [4]. La solució de l’equació de Beltrami \((I-\mu B) (\bar \partial f)=\mu\) també permet inferir integrabilitat de les derivades de \(\partial f\) si tenim integrabilitat de les derivades de \(\mu\) [5]. Buscarem casos extremals de pèrdua d’integrabilitat en algun d’aquests dos contextos.
- Es poden desenvolupar temes d’anàlisi complexa en general, més enllà de les propostes sobre transformada de Beurling i aplicacions quasiconformes, evidentment. En aquest cas, entrarem amb un enfocament prospectiu, a descobrir un camp en el que no soc expert i que tinc interès a entendre algun dia.
- Mètodes d’interpolació complexa (Riesz-Thorin i Calderón). Per exemple, llegir i entendre el resultat d’enguany https://arxiv.org/pdf/2605.27119
- Circle packing [Kenneth Stephenson]
- Teorema de l’aplicació de Riemann, amb aplicació a dominis de frontera poligonal i arcs de disc: [Nehadi].
- Jensen formula, Blashke products. [Conway]
- Teorema dels nombres primers.
- Funció zeta de Riemann.
- Teorema de Picard.
- Funcions enteres (veure [Boas])
- Teorema de Muntz-Szász.
La transformada de Beurling \[Bf(z)=-\frac1\pi \lim_{\varepsilon\to o}\int_{|w-z|>\varepsilon} \frac{f(w)}{(z-w)^2}\, dm(w)\] és un operador important en anàlisi complexa. Aquesta importància rau en el fet que si \(f\in W^{1,p}(\mathbb C)\), aleshores \[B(\bar \partial f)=\partial f.\]
Aquest fet fa que sigui fonamental la seva comprensió per tal d’entendre certes EDP’s al pla, en particular és cabdal en l’estudi de les aplicacions quasiconformes (homeomorfismes entre dominis del pla complex que deformen els angles de manera controlada). Possibles línies de treball: