La transformada de Beurling \[Bf(z)=-\frac1\pi \lim_{\varepsilon\to o}\int_{|w-z|>\varepsilon} \frac{f(w)}{(z-w)^2}\, dm(w)\] és un operador important en anàlisi complexa. Aquesta importància rau en el fet que si \(f\in W^{1,p}(\mathbb C)\), aleshores \[B(\bar \partial f)=\partial f.\]

Aquest fet fa que sigui fonamental la seva comprensió per tal d’entendre certes EDP’s al pla, en particular és cabdal en l’estudi de les aplicacions quasiconformes (homeomorfismes entre dominis del pla complex que deformen els angles de manera controlada). Possibles línies de treball:

  • La transformada de Beurling és un cas particular d’operador de Calderón-Zygmund, i quan es treballa amb aquest tipus d’operadors sol ser fonamental saber com es comporten en actuar sobre constants. Si restringim l’estudi a dominis del pla \(\Omega\), ens interessa conèixer el comportament de \(B\chi_\Omega\). [2]
    En dominis prou bons, usant les propietats esmentades, es pot calcular explícitament la funció \(B\chi_\Omega\). Per exemple quan \(\Omega=\mathbb D\) la seva  transformada és \(0\) a l’interior del disc i es coneix el seu valor també sobre el complementari. [1]
    Aplicarem aquests coneixements a l’estudi d’el·lipses, paràboles i dominis de vora polinomial, per la qual cosa ens convindrà estendre les definicions a \(BMO(\mathbb C)\). [3]
  • La composició amb aplicacions quasiconformes que tenen certa regularitat preserva la integrabilitat de les derivades amb una certa pèrdua a l’exponent [4]. La solució de l’equació de Beltrami \((I-\mu B) (\bar \partial f)=\mu\) també permet inferir integrabilitat de les derivades de \(\partial f\) si tenim integrabilitat de les derivades de \(\mu\) [5]. Buscarem casos extremals de pèrdua d’integrabilitat en algun d’aquests dos contextos.

[1] Astala, Kari, Tadeusz Iwaniec, and Gaven Martin. Elliptic Partial Differential Equations and Quasiconformal Mappings in the Plane (PMS-48). Princeton University Press, 2008.

[2] Prats, M. (2019). Sobolev regularity of quasiconformal mappings on domains. Journal d’Analyse Mathématique, 138(2), 513-562. https://doi.org/10.1007/s11854-019-0031-9

[3] Prats, Martí. “Sobolev regularity of the Beurling transform on planar domains.” Publicacions Matemàtiques 61.2 (2017): 291-336.

[4] Oliva, M., & Prats, M. (2017). Sharp bounds for composition with quasiconformal mappings in Sobolev spaces. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 451(2), 1026-1044. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2017.02.016

[5] Prats, Marti. “Beltrami equations in the plane and Sobolev regularity.” Communications on Pure and Applied Analysis 17.2 (2018): 319-332.