El problema de Dirichlet consisteix a trobar funcions harmòniques \( u:\Omega\to\mathbb R\) en un domini \(\Omega\) amb els valors de frontera prescrits \(u\equiv f\). Quan la dada de frontera és contínua i el domini és prou regular podem demostrar existència i unicitat de la solució amb continuïtat a la clausura del domini \(\overline\Omega\).
Donat un punt \(x\in\Omega\), l’aplicació \(f\mapsto u(x)\) és contínua i, pel teorema de representació de Riemann, existeix una mesura \(\omega^x\) suportada en \(\partial\Omega\) de manera que \(u(x)=\int f(y)\, d\omega^x(y)\). Aquesta s’anomena mesura harmònica.
Possibles línies de treball:
- Punt de vista d’anàlisi funcional: teorema de representació de Riesz i ús d’aquest en la definició rigorosa de mesura harmònica. Mirarem d’entendre le teorema de representació de Riesz [4] i com s’aplica per obtenir una definició rigorosa de mesura harmònica en qualsevol domini fitat, via mètode de Perron [2], així com maneres possibles d’estendre la definició a altres contextos no fitats.
- Punt de vista físic/estocàstic: el moviment Brownià i la relació amb la mesura harmònica amb el teorema de Kakutani. Llegirem l’article original [3] i el posarem en el context actual, mirant la formulació exacta del resultat en relació amb el mètode de Perron [2].
- Punt de vista d’anàlisi complexa i teoria geomètrica de la mesura: la dimensió de la mesura harmònica al pla. Estudiarem el teorema dels germans Riesz i dimensió en conjunts generals. [1,2].
- Punt de vista d’EDPs: la mesura el·líptica. Mirarem com passar les definicions obtingudes per funcions harmòniques a funcions \(L\)-harmòniques on \(L\) és un operador el·líptic en forma de divergència. [5]
[1] Garnett JB, Marshall DE. Harmonic Measure. Cambridge University Press; 2005.
[2] Prats, M. Tolsa, X. Notes on harmonic measure (preprint, 2023) – https://mat.uab.es/~xtolsa/mesuraharmonica.pdf
[3] Kakutani, S. (1944). “On Brownian motion in n-space”. Proc. Imp. Acad. Tokyo. 20 (9): 648–652
[4] Rudin, W. Real and complex analysis. Tata McGraw-Hill Education, 1987.
[5] Heinonen, J., Kilpeläinen, T. and Martio, O. “Fine topology and quasilinear elliptic equations.” Annales de l’institut Fourier. Vol. 39. No. 2. 1989.