Prerrequisits: Teoria de la mesura abstracta.
Veurem la definició de dimensions fraccionàries a través de les mesures de Hausdorff, i estudiarem breument les dimensions de conjunts auto-similars, tipus fractals (Sierpiński, Cantor,…). A partir d’aquí tenim possibles línies de treball:
- Altres tipus de dimensió, tipus Minkowski, etcètera. [1]
- Fórmules de l’àrea i la coàrea: la fórmula de l’àrea ens diu que la mesura de Hausdorff de dimensió \(n\) de la imatge d’un conjunt \(A\subset\mathbb R^n\) per una funció \(f:\mathbb R^n\to\mathbb R^m\) comptant multiplicitat, amb \(m\geq n\), coincideix amb la integral del jacobià. La fórmula de la coàrea tracta el cas \(m<n\). [2]
- Densitat i teorema de Marstrand: considerem la densitat \(\Theta^s(\mu,a)=\lim_{r\to 0}(2r)^{-s} \mu(B(a,r)).\)
El teorema de Marstrand diu que quan una mesura (de Radon) té densitat positiva i finita en un conjunt de mesura positiva, aleshores \(s\) és un enter. [1] - Mesures uniformes: si una mesura de Radon satisfà que \(\mu(B(x,r))=c r^m\) per a tot \(x\in{\rm supp} \mu\) i tot \(r>0\), diem que \(\mu\) és una mesura uniforme. Veurem que tota mesura uniforme està suportada en el conjunt de zeros d’un polinomi quadràtic. [1]
[1] Mattila, P. Geometry of sets and measures in Euclidean spaces: fractals and rectifiability. Vol. 44. Cambridge university press, 1999.
[2] Evans, L. Craig, and R. F. Gariepy. Measure theory and fine properties of functions. Studies in advanced mathematics. (1992).