La teoria de pesos clàssica estableix una sèrie de condicions sobre funcions (anomenades pesos) \(w\in L^1_{\rm loc}(\mathbb R^d)\) per tal que l’operador maximal de Hardy-Littlewood
\[Mf(x)=\sup_{r>0}\frac{1}{m(B_r(x))}\int_{B_r(x)} f(y)\, w(y)\, dm(y),\]
on \(m\) representa la mesura de Lebesgue, sigui fitat en algun espai \(L^p(m)\). Entre aquestes condicions es troben les classes de Muckenhoupt \(A_p\), la seva unió \(A_\infty\), els pesos que satisfan una desigualtat de Hölder invertida \(B_q\), la seva unió \(B_1\), … Resulta, de fet, que \(B_1=A_\infty\), és a dir que una mesura té maximal fitat en algun \(L^p\) si i només si satisfà una desigualtat de Hölder invertida per algun exponent \(q\).
En un article de Michael Brian Korey de 1998 s’estudien aquestes condicions i alguna més, la seva relació amb pesos doblants a tot l’espai ambient, així com condicions asimptòtiques sobre aquestes classes, és a dir, suposant que les constants que apareixen en controlar les diferents condicions, milloren a mida que agafem escales més petites.
Tota aquesta teoria es pot aplicar quan substituïm la mesura de Lebesgue per altres mesures arbitràries que siguin doblants en un espai mètric, per exemple a \(\mathbb R^d \). Parlem doncs de mesures \(\mu\) que satisfacin que
\[\mu(2B)\leq C_\mu \mu(B)\]
per tota bola \(B\) centrada en el suport de \(\mu\).
Una part d’aquesta teoria es pot trobar al capítol de pesos del llibre [2] que estem escrivint conjuntament amb en Xavier Tolsa, però queda camp per córrer, per exemple mirar quines parts de l’article de Korey es poden portar a aquest context de mesures doblants de base, buscar contraexemples o demostrar l’equivalència entre \(A_\infty\) i \(B_1\), veure en quins casos s’hereta la condició de doblament per part del pes \(w\), o trobar contraexemples, etcètera.
Prerequisits: teoria de la mesura abstracta.
Altament recomanat: anàlisi funcional i anàlisi harmònica.
Primers passos: entendre els primers capítols del llibre de Pertti Mattila (o Evans-Gariepy), la teoria de pesos clàssica (per exemple al llibre del Duoandikoetxea o al Grafakos) i les xarxes diàdiques en conjunts de Tuomas Hytönen i Anna Kairema. Si es volen mirar qüestions de l’article de Korey, convé estudiar la desigualtat de John-Nirenberg també.
[1] Michael B. Korey. (1998). Ideal Weights: Asymptotically Optimal Versions of Doubling, Absolute Continuity, and Bounded Mean Oscillation, JFAA, 4(4-5), 491-519.
[2] Prats, M. i Tolsa, X. (preprint, 2025). Harmonic measure in Euclidean spaces. https://mat.uab.cat/web/mprats/2023/10/05/marti-prats-and-xavier-tolsa-notes-on-harmonic-measure/