Prerrequisit: pels continguts tractats en el TFG, és important haver estudiat teoria de la mesura (integral de Lebesgue com a mínim).
Estudiarem operadors d’extensió, és a dir, formes d’estendre una funció definida en un cert domini a l’espai ambient (amb derivades integrables localment), de manera que la norma de la funció resultant estigui controlada per la norma inicial. Començarem per l’espai de funcions \(W^{k,p}\) (funcions amb \(k\) derivades febles \(p\)-integrables), però si es creu convenient ens podem centrar en espais de suavitat fraccionària, per exemple.
Els continguts proposats són:
- Espais de Sobolev [1]
- Extensions per a dominis regulars [2]
- Extensions per dominis menys regulars (Lipschitz i uniformes) [3] i altres de més avançats depenent de l’evolució.
- Espais de Triebel-Lizorkin o de Besov si es vol tirar cap aquí, de nivell més avançat.
[1] Evans, Lawrence C. Partial differential equations. Graduate Studies in Mathematics 19 (1998).
[2] Stein, Elias M. Singular integrals and differentiability properties of functions (PMS-30). Vol. 30. Princeton university press, 1970
[3] Jones, Peter W. “Quasiconformal mappings and extendability of functions in Sobolev spaces.” Acta Mathematica 147.1 (1981): 71-88.