La trocoide y cicloide
Para obtener la llamada cicloide debe hacerse [katex] a = b [/katex]. La forma más fácil de parametrizar esta curva es darse cuenta que el desplazamiento del centro de la circunferencia pequeña hacia la derecha sobre el eje X es igual a la longitud del arco de la misma circunferencia pequeña, dado por el ángulo [katex] t [/katex].
En la animación anterior es posible hacer que [katex] a < b [/katex], haciendo así que la curva «se despegue del suelo», es decir, [katex] y(t) > 0, \forall t[/katex]. En el caso [katex] a = b[/katex], cuando se obtiene la cicloide, la altura de la curva es cero en los múltiplos impares de [katex] \pi [/katex]. Finalmente, si [katex] a > b [/katex], la altura de la curva toma valores negativos.
La cicloide invertida
La cicloide invertida puede obtenerse mediante la trocoide haciendo [katex] a =b [/katex], para más tarde, mediante movimientos rígidos colocarla adecuadamente. También puede conseguirse de la siguiente manera: consideramos la circunferencia de centro [katex] (0,a) [/katex] y radio [katex]a[/katex]. Consideramos el punto [katex] (0,2a)[/katex], que es el polo norte de la circunferencia, y la hacemos rodar sobre la recta [katex] y = 2a[/katex].
En la gráfica anterior la curva toma altura cero en [katex] t = \pi [/katex]. Nuevamente, la forma de parametrizar esta curva es darse cuenta que el desplazamiento en el eje X se corresponde con la longitud en el arco de circunferencia.