Cien años de E8

La Vanguardia, 8 de Junio de 1991
Tal vez nos explicará el comportamiento de la materia y la unidad de todas las fuerzas de la naturaleza: Es el mayor de los grupos de Lie simples excepcionales, que se manifestó por vez primera en 1889 ante los ojos incrédulos de Killing, que trataba, sin conseguirlo, de eliminar algunos casos singulares en su clasificación de las álgebras de Lie. Aceptada su existencia, dejó de ser un mónstruo creado por el sueño de la razón matemática para ser una pieza esencial e inevitable de la simetría del espacio.

Tracemos su retrato robot: Es un grupo de Lie compacto y simple, de dimensión 248. Hermann Weyl, en un seminario impartido en 1934 (entre sus alumnos se encontraba el propio Coxeter), lo relacionó con el grupo de simetría de un cierto objeto geométrico que había sido estudiado en 1897 por Gosset, a lo largo de su trabajo (vana elucubración, debieron sentenciar sus contemporáneos) sobre poliedros en dimensión 8. En 1958, Freudenthal nos muestra como E8, al igual que los demás grupos excepcionales, nace del estudio de ciertas geometrías sobre una álgebra no asociativa: las octavas de Cayley. Las propiedades topológicas, métricas, combinatorias, la geometría a que da lugar: todo en E8 es excepcional y remarcable. Es el único grupo de Lie simplemente conexo que posee torsión en el primo 5, según demostró Borel en 1961. La cohomología de su espacio clasificador, con miles de generadores, no ha podido ser dilucidada hasta el año pasado, en que Mimura anunció sus resultados en el congreso en memoria del malogrado Frank Adams, otro estudioso (y admirador) de E8.

Todos sabemos como colocar 6 monedas iguales tangentes a otra moneda del mismo tamaño. Muchas veces hemos visto (en las naranjas cuidadosamente apiladas de una frutería, por ejemplo) una configuración de 12 esferas, cada una de las cuales toca a una central. David Gregory, a fines del XVII, defendió (frente a Newton) la opinión de que tal vez pudieran disponerse hasta 13 esferas tangentes a otra. Ninguna de las demostraciones existentes de que el número óptimo es, realmente, 12, puede considerarse sencilla. Ni se conoce cual es el número óptimo en ninguna dimensión superior a 3... excepto en dimensión 8, donde el grupo de Weyl de E8 nos proporciona un retículo en el cual cada esfera toca a otras 240, y en dimensión
24, en que aparece otro objeto más sorprendente, si cabe, el retículo de Leech, responsable de buena parte de los grupos finitos simples esporádicos y que nos permite colocar 196560 esferas de dimensión 24 tangentes a una esfera central.

¿Para qué puede servir -se preguntará- empaquetar esferas de dimensión 8? Sirve para llamar por teléfono, para escuchar Mozart en un Compact Disc, para enviar un fax, para ver televisión via satélite, para conectar, mediante un modem, con una red de ordenadores. Sirve en todos aquellos procesos en que se exija la transmisión eficiente de información digital. La teoría de la información nos ensenya que los códigos de transmisión de señales son más fiables en dimensiones elevadas y el retículo de E8, con su sorprendente simetría y dada la existencia de un decodificador apropiado (Conway 1982), es un instrumento fundamental en la teoría de la codificación y transmisión de señales. Parece ser que ya se están fabricando modems basados en el retículo de E8.

Paralelamente a las aplicaciones técnicas, se han depositado también en E8 grandes esperanzas cara a obtener una teoría global de la materia-energía. Uno de los problemas centrales de la física contemporánea consiste en la unificación de la teoría de la relatividad de Einstein y la mecánica cuántica. Desde hace algunos años, esta síntesis parece posible, en el marco de una nueva teoría física (las supercuerdas) en la cual las partículas elementales no se piensan como puntos en el espacio ordinario, sinó como cuerdas (capaces, por tanto, de vibrar) en un espacio de 9 dimensiones, 6 de las cuales se hallan compactificadas y son, por tanto, imperceptibles a escala macroscópica. Esta teoría, entre cuyos líderes se halla E. Witten, medalla Fields en el último Congreso Internacional de Matemáticas, unifica las cuatro fuerzas presentes en la naturaleza y postula un grupo de simetría que sería el cuadrado de E8.

E8 es un objeto fascinante. Podemos pensarlo como una configuración extraordináriamente simétrica y compacta en un mundo de 8 dimensiones, como un extraño cristal perfecto. Un siglo de estudio no ha agotado la dilucidación de sus propiedades y aplicaciones.

Jaume Aguadé
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