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"Naturalmente, quedaron así numerosos claros que sólo se llenaron con lentitud, algunos sólo
después de haberse ya proclamado la terminación de la muralla. Más aun: se dice que hay huecos
que no se llenaron en absoluto, afirmación que [...] al menos para el hombre aislado no es
comprobable por sus propios ojos y con su propio sentido de las proporciones." Estas palabras de Kafka y, posiblemente, la totalidad de su narración "De la construcción de la muralla china" de la cual provienen, parecen idóneas para referirse a la situación actual del problema de la clasificación de los grupos simples finitos. Ambos proyectos, la muralla y el teorema, tienen dimensiones descomunales, ambos producen admiración, ambos son obras colectivas que nos hacen plantearnos el cómo y el porqué. La muralla, tras milenios, se ha convertido en un mero objeto grande, bello e inútil, pero nadie sabe qué aspecto tomará esta incomprehensible demostración que, tras 15.000 páginas dispersas en unos 500 artículos, pretende convencer, a quien pudiera leerla, de que no hay más que 26 grupos finitos simples esporádicos. El fenómero sobre el que ironizaba el New York Times ens sus titulares del 22 de Junio de 1980 ("Una escuela de algebristas se encamina al paro") parece haberse producido. El escepticismo con que la comunidad científica recibió el programa de 16 puntos de Gorenstein de 1972 dio paso a una excitación extrema cuando el trabajo en equipo de casi un centenar de matemáticos parecía conducir inexorablemente a la clasificación final en el espacio de pocos a¤os. Cuando Gorenstein, prematuramente según algunos, anunciaba en 1981 la finalización del monumental proyecto, con la demostración, por Simon Norton en Cambridge, de la unicidad del monstruo, era inevitable la fragmentación y disolución del equipo, falto del estímulo de la meta asequible. Grupos simplesUn grupo simple es aquel que no puede representarse a través de un grupo menor. Constituyen, por tanto, los componentes elementales de cualquier otro grupo y su análisis guarda una cierta semejanza con el estudio y clasificación de las partículas elementales: en varias ocasiones se ha podido predecir la existencia y propiedades de un cierto grupo simple mucho antes de que se haya podido obtener una construcción efectiva.En 1861, cuando Mathieu construyó cinco curiosos grupos simples de permutaciones, la lista de los grupos finitos simples conocidos se reducía a los grupos cíclicos de orden primo, los grupos de permutaciones pares, los grupos llamados "de tipo Lie" (análogos finitos de los grupos de Lie) y los cinco grupos de Mathieu, que más tarde se dio en llamar esporádicos. Durante más de cien años, ningún nuevo objeto había de añadirse a la escueta lista hasta que Janko, en 1965, construye el primero de sus grupos. A partir de este punto, todo un maravilloso bestiario exótico va apareciendo ante los ojos de los algebristas: los otros tres grupos previstos por Janko, el último de los cuales no fue construido hasta 1980 por un fuerte equipo de Cambridge, mediante una representación en 112 dimensiones sobre un cuerpo de característica dos; los grupos de Held, Lyons y O'Nan; los tres grupos que Conway pudo obtener a partir de un retículo de dimensión 24, de propiedades extraordinarias, etc., hasta completar los 26 grupos esporádicos que hoy conocemos y que, si el teorema de clasificación es cierto, agotan todos los casos posibles. El monstruoCada uno de estos 26 grupos esporádicos tiene su propia historia y su propia geografía. Cada uno es prácticamente un mundo en sí mismo, pero ninguno iguala la fascinación que produce, dentro y fuera de la teoría de grupos, el mayor de todos ellos, el monstruo, también conocido como el "gigante simpático". Conjeturado simultáneamente por Fischer en Alemania y Griess en Estados Unidos, tiene del orden de 10 elevado a 54 elementos. En 1980 Griess consigue localizarlo en un universo de 196.883 dimensiones. El estudio del monstruo, esta bellísima estructura matemática, está creando por sí mismo una nueva disciplina, inextricablemente relacionada con la física y con la teoría de las funciones modulares. Cuentan que |
Ogg, que
acababa de demostrar que cierta propiedad de los grupos fuchsianos se cumple sólo para ciertos
números primos que no parecían tener ningún significado especial, asistió sorprendido a una
conferencia de Tits en que éste mencionaba un grupo esporádico conjetural -el monstruo- cuyo
orden contenía exactamente los primos de la lista. Ogg ofreció una botella de Jack Daniels de
recompensa a quien diera una explicación de tan sorprendente coincidencia, la primera de una
lista de enigmas numerológicos cuyo estudio recibió el curioso nombre, acorde con su caracter
misterioso, de "claro de luna monstruoso". Estas conexiones entre el monstruo y areas de las
matemáticas aparentemente muy alejadas reclamaban una dilucidación que, en gran parte, sigue
pendiente. ¿Qué pensar ante una estructura como la del monstruo?¿Para qué o para quien existe y qué influencia puede tener sobre nosotros? ¿Qué sentido tiene la árdua tarea de su búsqueda? Hay varios tipos de opiniones: Para algunos el monstruo es como la Ilíada o como uno de los conciertos de Brandenburgo: una bella creación del género humano, que no requiere más justificación. Para otros el monstruo existe como existen el Everest o Saturno y había que descubrirlo porqué está ahí. Recuerdo a Alan Connes, que visitó Barcelona el año pasado, invitado por el Institut d'Estudis Catalans, negando, con notable vehemencia, que las matemáticas puedan compararse, ni por un instante, a la música: el matemático no crea nada -afirmaba- se limita a levantar el velo que cubre la realidad matemática, tan tangible como pueda ser la realidad física. Para una tercera escuela de pensamiento el monstruo no es un accidente sinó una estructura inevitable del mundo, de cualquier mundo, y debe manifestarse, de algún modo, en el substrato más básico de cualquier sistema del universo. A esta escuela podríamos adscribir Dyson que escribe: "Confieso que tengo la esperanza, no basada en ningún hecho o evidencia, de que en algún momento del siglo XXI los físicos se toparán con el monstruo incorporado, de alguna manera insospechada, en la estructura del universo." Dyson escribía estas palabras en 1983, poco antes de que empezaran a desvelarse las relaciones entre el monstruo y la teoría de supercuerdas... Un centenar de matemáticos, 30 años de esfuerzos, dosis ilimitadas de imaginación, 15.000 páginas en revistas científicas... la muralla china. Una demostración inacabadaHasta los más optimistas, como el propio Gorenstein, consideran inevitable que una demostración de las dimensiones de la del teorema de los grupos simples contenga un cierto número de errores "locales" y, de hecho, repetidamente se están encontrando errores de este tipo que, en muchos casos, pueden subsanarse sobre la marcha. La situación real es, de todos modos, mucho más compleja. Algunos artículos fundamentales en la demostración no han sido publicados, quizás ni tan solo escritos. Acaso sólo tres o cuatro personas conocen el entramado lógico global de la demostración. Muchos especialistas han abandonado el problema, una vez anunciada la solución del mismo. Conviene observar también que la demostración, por su propia naturaleza, es un juego de "todo o nada": nadie ha podido imaginar una demostración parcial del teorema y esta depende de todas y cada una de las configuraciones que en ella aparecen. Conway nos recuerda que un buen número de grupos esporádicos, incluyendo el monstruo, han sido construidos después de que alguien demostrara que eran imposibles. En este estado de cosas se ha producido la noticia que parecía inevitable: un trabajo que debía unir las dos lineas principales de investigación (los grupos llamados "delgados" de Stellmacher y Delgado y los grupos "gruesos" de Gorenstein, Lyons y Solomon), un manuscrito de Geoffrey Mason de varios centenares de páginas del cual nadie tenía información de primera mano, obtiene resultados más débiles de los esperados, dejando abiertas una serie de configuraciones que, por un lado, dejan en entredicho la totalidad del teorema y, por otro, como reconoce Thompson, podrian producir nuevos grupos esporádicos, incluso una infinidad de ellos. En palabras de Alexandre Turull, el gran especialista catalán en grupos finitos:"la clasificación de los grupos simples finitos es la gran obra inacabada de las matemáticas de nuestro siglo". |