Recta
hiperbòlica
Les rectes
hiperbòliques, en el model del semiplà de
Poincaré, són les semicircumferències
de centre un punt de la recta de l'infinit i radi arbitrari i les
rectes perpendiculars a la recta de l'infinit. En aquest model es
consideren com a
rectes aquests dos objectes per tal que el concepte de recta (la
corba que minimitza la distància entre dos punts) segueixi sent
vàlid.
L'eina recta hiperbòlica
que hem construït només ens permet traçar les rectes
hiperbòliques que són
semicircumferències.
Això és perquè, tal com veurem, en la
construcció necessitem una
intersecció que, en el cas que els dos punts estiguin a la
mateixa recta perpendicular a la recta de l'infinit, no tenim.
Per obtenir la recta hiperbòlica que passa per dos punts que no
pertanyen a la mateixa recta perpendicular respecte la recta de
l'infinit hem seguit els passos següents:
- Tracem el
segment euclidià d'extrems els dos punts donats.
- Construïm
el seu punt mig.
- Tracem la
perpendicular a la recta que conté el segment de (1) i que passa
pel punt mig.
- Considerem
la intersecció de la perpendicular traçada i
la recta de l'infinit. Aquest punt d'intersecció serà el
centre de la circumferència, que ens donarà la recta
hiperbòlica.
- Construïm
la circumferència amb centre el punt trobat al
pas anterior i que passa per un dels dos punts donats.
- Marquem la
intersecció d'aquesta circumferència amb la
recta de l'infinit.
- Tracem
l'arc de circumferència que té per extrems els
punts d'intersecció que hem trobat al pas anterior i passa per
un dels dos punts donats. Aquesta semicircumferència és
la recta hiperbòlica que passa pels dos punts fixats.
Alguns passos seguits en la
construcció d'una recta hiperbòlica.
Aquesta construcció ens permet trobar la recta
hiperbòlica. En els passos (2) i (3) construïm el lloc
geomètric dels punts del pla que equidisten dels dos punts
donats, és a dir, la mediatriu. Per tant, el centre de la
circumferència que busquem està a sobre aquesta recta
però també ha d'estar a sobre de la recta de l'infinit,
per definició de recta hiperbòlica. Així, al pas
(4), el centre de la circumferència queda ben determinat.
Per obtenir la semicircumferència com a únic objecte que
es mostri a l'sketch amaguem
amb l'eina hidden tots els
altres objectes que
haguem construït.
Llista d'eines
Geometria
hiperbòlica