Eines per treballar amb el model del
semiplà
A partir de les
eines de la llista següent
podràs traçar rectes, circumferències, dibuixar
triangles... tots hiperbòlics igual que ho faries en el cas
euclidià.
Cada una de les eines següents permet dibuixar els objectes en
qualsevol posició. Per exemple, si
volem construir una recta hiperbòlica a partir de dos punts
dibuixarà o bé la semicircumferència euclidiana
sobre la que estan o bé la recta (euclidiana)
perpendicular a la recta de l'infinit.
Això no era possible amb una versió anterior d'aquestes
mateixes eines. En la versió anterior només era possible
representar, per exemple, rectes hiperbòliques quan els dos
punts no estaven a la mateixa perpendicular. Creiem que aquesta
modificació és interessant ja que
sovint els casos més simples per començar a estudiar
propietats es troben quan considerem rectes, o segments, que estan
sobre una perpendicular a la recta de l'infinit.
Clicant
a cada una de les de la llista
obtindràs la construcció que hem seguit per
obtenir l'eina en el cas genèric, quan els punts que intervenen
en la construcció no estan a la mateixa perpendicular. De
totes maneres, donem algunes característiques
generals de com s'han construït les eines per tal que dibuixin
l'objecte en qualsevol cas.
Les macros podeu
descarregar-les
des de Half-Plane_Model2.gsp.
Per tal de
poder-les utilitzar és necessari tenir instal·lada alguna
versió de l'Sketchpad
4.
- Recta
hiperbòlica,
- Raig
hiperbòlic,
- Segment
hiperbòlic,
- Paral.leles,
- Mesura
de la longitud de segments,
- Mesura
d'angles,
- Punt
mig d'un segment,
- Mediatriu
d'un segment,
- Perpendicular
per un punt exterior,
- Perpendicular
per un punt de la recta,
- Bisectriu
d'un angle,
- Angle
de paral.lelisme (concepte de la
G.H. que
té gran importància),
- Circumferència
donat el centre i el radi,
- Circumferència
donat el centre i un punt,
- Cirucmferència
que passa per 3 punts (no
sempre existeix),
- Arc de
circumferència hiperbòlic,
- Equidistant
hiperbòlica,
- Horocicle
i
- Triangle
hiperbòlic.
Fins aquí
hem construït les eines que ens permeten construir objectes de la
Geometria Hiperbòlica plana en el model del semiplà de
Poincaré però, fins ara, en cap moment hem parlat
desplaçar els objectes de manera que n'obtinguem d'equivalents,
és a dir, de les isometries, les aplicacions que conserven les
distàncies.
En el mateix arxiu Half-Plane_Model2.gsp
es troba l'eina per transportar un segment donat a una altra
posició. Fixant el punt d'origen on volem transportar el segment
i la direcció la imatge del segment queda determinada de manera
única.
- Transport
de segments.
Recordem que les
isometries del pla hiperbòlic són composició
d'inversions respecte rectes hiperbòliques. O, pensant que tenim
un model euclidià de la Geometria Hiperbòlica, les
isometries són les inversions respecte les
circumferències amb centre a la recta de l'infinit i radi
arbitrari. Si no només voleu transportar segments sinó
que també voleu estudiar les isometries d'aquest model o
transformar cercles, triangles, punts,... podeu mirar Isometries de l'espai hiperbòlic on
també trobareu l'arxiu Hyperbolic_Isometries.gsp
per treballar amb elles.
Geometria
hiperbòlica
Pàgina
principal