Angle
de paral·lelisme
L'angle de
paral·lelisme juga un paper important a
la
Geometria Hiperbòlica ja que relaciona longituds i angles, cosa
que no passa pas a la Geometria Euclidiana.
Per poder definir l'angle de paral·lelisme necessitem fixar una
recta, r, i un punt P exterior a aquesta. Considerem la
recta perpendicular a r que
passa per P i la seva
intersecció, Q, amb la
recta r. La longitud del
segment PQ coincideix amb la
distància de P a r. Ara considerem les dues
rectes paral·leles a r que passen per P i considerem l'angle
entre una d'aquestes paral·leles i la perpendicular. Aquest
és l'angle de paral·lelisme.
Tenim dues eines per calcular l'angle de paral·lelisme. Una
d'elles
només calcula l'angle de paral·lelisme sense fer cap
modificació
aparent en el dibuix i l'altra, a més de calcular el seu valor,
també el representa gràficament a partir de les rectes
paral·leles.
Pels dos casos necessitem tres punts ordenats, de manera que els dos
primers determinin una recta i el tercer sigui el punt exterior. A
partir d'aquests calculem el valor de l'angle de paral·lelisme
amb:
- Construïm la recta que uneix els dos primers punts.
- Tracem cada una de les dues rectes paral·leles amb el
procediment ja explicat. (recta
hiperbòlica)
Calculem el valor de l'angle de paral·lelisme a
partir de
l'angle euclidià ja que en aquest model els angles
hiperbòlics
coincideixen amb els euclidians.- Tracem la recta tangent
a les dues circumferències que determinen cada una de les dues
paral·leles
en el punt exterior.
- Calculem l'angle euclidià que formen les dues rectes
tangents, Aquest angle és el doble de l'angle de
paral·lelisme.
- Dividim per dos l'amplitud de l'angle
obtingut en el
pas
anterior. Aquest és el valor de l'angle de paral·lelisme.
Ocultem tots els objectes excepte el resultat del pas (5).
Si volem que a més a més ens dibuixi les dues rectes
paral·leles i
la bisectriu cal que després dels passos anteriors, sense
ocultar cap objecte, seguim amb
els
següents:
- Tracem els dos segments
hiperbòlics que
passen pel punt
exterior i per un dels punts d'intersecció de la recta donada
amb
la recta de l'infinit. Tot i que aquests dos segment hiperbòlics
que hem construït no siguin estrictament segments
hiperbòlics
(tenen un punt a la recta de l'infinit) només ens interessa
traçar l'arc de circumferència
que uneix els
dos punts i, per tant, la construcció ens serveix.
- Tracem la bisectriu
hiperbòlica de l'angle que
determinen els
dos segments anteriors, que podem pensar com a raigs
hiperbòlics.
- Considerem el punt d'intersecció de la bisectriu
hiperbòlica
amb la recta inicial.
- Tracem el segment
hiperbòlic que uneix els dos punts
anteriors. Aquest és el segment que ens determina l'angle de
paral·lelisme.
Cal
observar que és possible que el pas (9) no es pugui fer.
Això passa en el cas en què el segment hiperbòlic
és també un segment euclidià. Recordem que l'eina segment
hiperbòlic no la podem utilitzar en aquest cas. Si
passés això només caldria moure alguns dels punts
incials per tal que variés la posició i ja es
pogués construir el segment.
En el moment en que ja tenim feta la macro aquest problema, en certa
manera, se segueix repetint ja que en aquest cas no es
visualitzarà el segment tot i que en el moment en què
moguem la construcció ja tornarà a aparèixer.
Llista d'eines
Geometria
hiperbòlica