Segment
hiperbòlic
Per construir el
segment hiperbòlic, igual que en els casos
anteriors, necessitem dos punts. En aquest cas, però, l'ordre no
serà rellevant. Els passos que caldrà seguir,
essencialment, seran
els mateixos que en els dos casos anteriors ja que, de fet, un
segment hiperbòlic pertany a una recta hiperbòlica.
- Seguim
els
mateixos passos que per construir la recta
hiperbòlica de manera que passi pels dos punts donats.
- Considerem
la intersecció de la recta perpendicular al
segment euclidià que uneix els dos punts donats amb la
semicircumferència que ens dóna la recta
hiperbòlica. Aquest dos
objectes els hem construït en fer els mateixos passos que pel cas
de la recta hiperbòlica.
- Tracem
l'arc de circumferència que passa per un dels punts
donats, la intersecció que hem marcat al pas anterior i l'altre
punt, en aquest ordre. Aquest és el segment hiperbòlic
que
busquem.
El
segment hiperbòlic està ben construït
perquè la intersecció del
segon pas sempre existirà i estarà entre els dos punts
donats. La
recta perpendicular considerada en el primer pas és la mediatriu
del segment euclidià. Per tant, passa pel centre
de
la circumferència d'on sabem que ha de tallar-la en dos punt
diametralment oposats. Fins aquí sabem que la intersecció
sempre
existeix i que el pas (2) està ben definit.
També cal que es compleixi que el punt que pertany
al mateix semiplà que els dos punts donats estarà entre
els
dos punts
donats. És a dir, si resseguim l'arc en l'ordre que indica el
pas
(3) no sortim del semiplà. Provem que això és cert
a partir de
suposar que no ho és. Si no ho fos podríem traçar
la recta que
uneix el centre amb un dels dos punts i aquesta recta dividiria el
pla en dues parts de manera que el punt d'intersecció quedaria a
una i l'altre punt donat a l'altra. Però això no
és possible
perquè el punt d'intersecció compleix que està a
la mateixa
distància que els dos punts i en aquesta situació no ho
podria
complir. Així, la construcció, la podrem fer sempre que
els dos
punts no pertanyin a la mateixa recta perpendicular a la recta de
l'infinit.
Com en els casos anteriors, ocultem tots els objectes que hem
construït excepte l'últim arc de circumferència.
Llista d'eines
Geometria
hiperbòlica