Bisectriu hiperbòlica

Igual que a la Geometria Euclidiana podem traçar la bisectriu d'un angle. Per utilitzar aquesta eina serà necessari donar tres punts diferents. L'ordre serà important ja que amb aquests tres punts construirem un angle que suposarem que té el vèrtex en el segon punt donat.
La bisectriu hiperbòlica ha de dividir un angle en dues parts iguals. Per construir-la utilitzarem la bisectriu euclidiana. També usarem el fet que, donades dues semirectes diferents que estan a sobre la mateixa recta i tenen el mateix origen, si volem decidir la que està més a prop d'un cert punt podem traçar la perpendicular per aquell punt i estarà més a prop la que talli la perpendicular ja que la distància euclidiana d'un punt a una recta es troba a partir de traçar la perpendicular per aquell punt. Així doncs, per construir la bisectriu hem seguit els passos següents:

  1. Construïm el raig hiperbòlic que passa pels dos primers punts donats, C i D.
  2. Construïm el raig hiperbòlic que passa pels dos últims punts donats, D i E.
  3. Tracem la recta tangent, r, al raig que uneix C i D i que passa per D. Per traçar la recta tangent utilitzem que la tangent per un punt d'una circumferència és la recta perpendicular a la normal, que ve donada pel radi. Així, tracem la recta perpendicular al radi que passa pel punt D.
  4. Tracem, amb el mateix procediment que en el cas anterior, la recta tangent, s, al raig que uneix D i E i que passa per D.

    Volem traçar la bisectriu euclidiana de l'angle euclidià, per ser el mateix que l'hiperbòlic. Hem de decidir quines dues de les quatre semirectes són les que hem de considerar ja que ens han quedat quatre angles euclidians determinats. Per fer-ho utilitzem que la semirecta que quedi més a prop del punt C (resp. E), que pertany al mateix raig del que és tangent la semirecta, és la que ens interessa.

  5. Tracem la recta perpendicular a la tangent r que passa per C.
  6. Considerem la intersecció de la recta anterior amb la recta r.
  7. Tracem el raig euclidià que té origen D i passa per la intersecció anterior. Aquesta semirecta és una de les que formaran l'angle euclidià.
  8. Tracem la recta perpendicular a la tangent s que passa per E.
  9. Considerem la intersecció de la recta anterior amb la recta s.
  10. Tracem el raig euclidià que té origen D i passa per la intersecció anterior. Aquesta semirecta és l'altra que formarà l'angle euclidià.
  11. Tracem la bisectriu euclidiana a partir del punt d'intersecció del pas (6), el punt D i el del pas (9). A partir de la bisectriu euclidiana traçarem la bisectriu hiperbòlica. S'ha de complir que l'euclidiana sigui tangent a la hiperbòlica. Amb això construïm la hiperbòlica de la manera següent:
  12. Tracem la recta perpendicular a la bisectriu euclidiana que passa per D.
    Considerem la intersecció d'aquesta recta amb la recta de l'infinit.
  13. Tracem la circumferència de centre el punt d'intersecció anterior i que passa per D. La bisectriu hiperbòlica que busquem està a sobre la recta hiperbòlica que acabem de traçar. Només cal que considerem tres punts de l'arc que ens ha de donar la bisectriu hiperbòlica. El punt inicial ha de ser el punt D. Ens falta un punt intermedi i el final. El final ha de ser un dels dos punts de la intersecció de la circumferència amb la recta de l'infinit.
  14. Tracem el segment euclidià que uneix els punts d'intersecció que hem considerat als passos (6) i (9) que sabem segur que existeixen.
  15. Considerem el punt d'intersecció del segment del pas anterior amb la bisectriu euclidiana. Aquesta intersecció existeix perquè el segment està format amb un punt de cada semirecta de l'angle del que considerem la bisectriu.
  16. Tracem la perpendicular a la bisectriu euclidiana pel punt anterior.
  17. Considerem la intersecció de la recta anterior amb la circumferència que hem construït al pas (14). El primer punt de la intersecció, si considerem com a primer el primer que trobem quan recorrem la recta des del punt del pas (16), serà considerat com a punt intermedi.
  18. Elegim el punt final a partir de construir l'arc de circumferència que passa per D, el punt que hem trobat al pas anterior i el punt antipodal de D (que podem trobar a partir de la recta que passa pel centre de la circumferència i per D). El punt d'intersecció d'aquest arc de circumferència amb la recta de l'infinit és el punt final que busquem.
  19. Tracem l'arc que té l'origen a D, passa pel punt del pas (18) i acaba al punt del pas (19). Aquesta és la bisectriu hiperbòlica que estem buscant.


Per veure que la bisectriu hiperbòlica sempre estarà ben construïda cal provar que el pas (18) sempre estarà ben definit, és a dir, que la recta perpendicular construïda sempre tallarà a la circumferència. L'existència de les altres interseccions ja hem comentat que sempre la tenim durant la construcció. Observem que els passos (7) i (10) no són necessaris per la construcció tot i que puguin ser clarificadors. En ells es construeix cada un dels rajos que determinen l'angle euclidià però l'eina que calcula l'angle euclidià només necessita tres punts (un punt d'un raig, el vèrtex i un punt de l'altre raig). Per tant, amb els punts dels passos (6) i (9) ja seria suficient.


Llista d'eines
Geometria hiperbòlica