Bisectriu
hiperbòlica
Igual que a la
Geometria Euclidiana podem traçar la bisectriu
d'un
angle. Per utilitzar aquesta eina serà necessari donar tres
punts
diferents. L'ordre serà important ja que amb aquests tres punts
construirem un angle que suposarem que té el vèrtex en el
segon
punt donat.
La bisectriu hiperbòlica ha de dividir un angle en dues parts
iguals.
Per construir-la utilitzarem la bisectriu euclidiana. També
usarem
el fet que, donades dues semirectes diferents que estan a sobre la
mateixa recta i tenen el mateix origen, si volem decidir la que
està més a prop d'un cert punt podem traçar la
perpendicular per
aquell punt i estarà més a prop la que talli la
perpendicular ja
que la distància euclidiana d'un punt a una recta es troba a
partir de traçar la perpendicular per aquell punt.
Així doncs, per construir la bisectriu hem seguit els passos
següents:
- Construïm el raig hiperbòlic que passa
pels
dos primers punts donats, C i
D.
- Construïm el raig hiperbòlic
que passa pels dos
últims punts
donats, D
i E.
- Tracem la recta tangent, r,
al raig que uneix C i D i
que passa per D. Per
traçar la recta tangent utilitzem que la
tangent per un punt d'una circumferència és la recta
perpendicular
a la normal, que ve donada pel radi. Així, tracem la recta
perpendicular al radi que passa pel punt D.
- Tracem, amb el mateix procediment que en el cas
anterior, la
recta tangent, s, al raig que
uneix D i E i que passa per D.
Volem traçar la bisectriu
euclidiana de l'angle euclidià,
per ser
el mateix que l'hiperbòlic. Hem de decidir quines dues de les
quatre semirectes són les que hem de considerar ja que ens han
quedat quatre angles euclidians determinats. Per fer-ho utilitzem
que la semirecta que quedi més a prop del punt C (resp. E), que
pertany al mateix raig del que és tangent la semirecta,
és la que
ens interessa.
- Tracem la recta perpendicular a la tangent r que passa per C.
- Considerem la intersecció de la recta anterior amb la
recta r.
- Tracem el raig euclidià que té origen D i passa
per la
intersecció anterior. Aquesta semirecta és una de les que
formaran
l'angle euclidià.
- Tracem la recta perpendicular a la tangent s que passa per E.
- Considerem la intersecció de la recta anterior amb la
recta s.
- Tracem el raig euclidià que té origen D i passa
per la
intersecció anterior. Aquesta semirecta és l'altra que
formarà
l'angle euclidià.
- Tracem la bisectriu euclidiana a partir del punt
d'intersecció del pas (6), el punt D i el del pas (9).
A partir de la bisectriu euclidiana traçarem la bisectriu
hiperbòlica. S'ha de complir que l'euclidiana sigui tangent a la
hiperbòlica. Amb això construïm la
hiperbòlica de la manera
següent:
- Tracem la recta perpendicular a la bisectriu euclidiana que
passa per D.
Considerem la intersecció d'aquesta recta amb la recta de
l'infinit.
- Tracem la circumferència de centre el punt
d'intersecció
anterior i que passa per D.
La bisectriu hiperbòlica que busquem està a sobre la
recta
hiperbòlica que acabem de traçar. Només
cal que
considerem tres punts de l'arc que ens ha de donar la bisectriu
hiperbòlica. El punt inicial ha de ser el punt D. Ens falta un
punt intermedi i el final. El final ha de ser un dels dos punts de
la intersecció de la circumferència amb la recta de
l'infinit.
- Tracem el segment euclidià que uneix els punts
d'intersecció
que hem considerat als passos (6) i (9) que sabem segur que
existeixen.
- Considerem el punt d'intersecció del segment del pas
anterior
amb la bisectriu euclidiana. Aquesta intersecció existeix
perquè
el segment està format amb un punt de cada semirecta de l'angle
del que considerem la bisectriu.
- Tracem la perpendicular a la bisectriu euclidiana pel punt
anterior.
- Considerem la intersecció de la recta anterior amb la
circumferència que hem construït al pas (14). El primer
punt de la
intersecció, si considerem com a primer el primer que trobem
quan
recorrem la recta des del punt del pas (16), serà considerat com
a
punt intermedi.
- Elegim el punt final a partir de construir l'arc de
circumferència que passa per D,
el punt que hem trobat al pas
anterior i el punt antipodal de D
(que podem trobar a partir de
la recta que passa pel centre de la circumferència i per D).
El
punt d'intersecció d'aquest arc de circumferència amb la
recta de
l'infinit és el punt final que busquem.
- Tracem l'arc que té l'origen a D,
passa pel punt del pas
(18) i acaba al punt del pas (19). Aquesta és la bisectriu
hiperbòlica que estem buscant.
Per veure que la bisectriu hiperbòlica sempre estarà ben
construïda cal provar que el pas (18) sempre estarà ben
definit,
és a dir, que la recta perpendicular construïda sempre
tallarà a
la circumferència. L'existència de les altres
interseccions ja hem
comentat que sempre la tenim durant la construcció.
Observem que els passos (7) i (10) no són necessaris per la
construcció tot i que puguin ser clarificadors. En ells es
construeix cada un dels rajos que determinen l'angle euclidià
però
l'eina que calcula l'angle euclidià només necessita tres
punts (un
punt d'un raig, el vèrtex i un punt de l'altre raig). Per tant,
amb els punts dels passos (6) i (9) ja seria suficient.
Llista d'eines
Geometria
hiperbòlica