Raig
hiperbòlic
Per construir un
raig hiperbòlic necessitem dos punts fixats i
conèixer l'ordre amb què es consideren ja que un raig
hiperbòlic és una
semirecta hiperbòlica que passa pels dos punts fixats i
té
l'origen en el primer punt.
Per això, per construir un raig hiperbòlic amb l'Sketchpad hem de
tenir en compte que és important l'ordre amb què es
marquin els
punts ja que serà amb l'ordre que es consideraran, és a
dir, hem
de tenir en compte que primer hem de marcar l'origen de la
semirecta ja que ho considerarem així en fer la
construcció.
Els passos de la construcció són els següents:
- Tracem la
circumferència que passa pels dos punts donats i
té
el centre sobre la recta de l'infinit seguint els cinc primers
passos que hem explicat pel cas de la recta
hiperbòlica.
- Tracem la
recta euclidiana que passa pel primer punt i pel centre de la
circumferència.
- Considerem
la intersecció d'aquesta recta amb la
circumferència. Hi ha dos punts d'intersecció ja que la
recta que
hem construït és una prolongació d'un
diàmetre de la
circumferència. Ens interessarà el punt antipodal al
donat.
- Construïm
l'arc de circumferència que té
origen en el primer
punt, passa pel segon punt i acaba en la intersecció del pas
anterior.
- Considerem
la intersecció de l'arc del pas anterior amb la
recta de l'infinit. Aquest punt serà el que volem que acabi el
raig hiperbòlic que estem construïm.
- Tracem
l'arc hiperbòlic que uneix el primer punt amb el segon i
acaba al punt d'intersecció considerat al pas (5). Aquest arc de
circumferència és el raig hiperbòlic que volem
construir.
Per
comprovar que aquesta construcció sempre la podrem fer n'hi
ha
prou en veure que el pas (4) sempre estarà ben definit,
és a dir,
que resseguint la circumferència des del primer punt donat
sempre
trobarem primer el segon punt que el construït. Però
això és cert
perquè el punt que suposem que sempre serà el tercer que
trobarem
és l'antipodal del primer punt i, per ser l'antipodal,
estarà a
l'altre costat del pla que determina la recta de l'infinit. El dos
punts donats sempre estaran al mateix costat del pla ja que han de
ser punts hiperbòlics. Així doncs, sempre podrem fer
aquesta
construcció i sempre obtindrem el raig en la direcció que
volem.
Una vegada feta la construcció només cal amagar tots els
objectes
excepte l'últim arc de circumferència que hem
construït.
Llista d'eines
Geometria
hiperbòlica
