Circumferència
hiperbòlica: centre i punt
Per fer la
construcció suposarem que el punt no pertany a la
recta
perpendicular respecte la recta de l'infinit. Suposem que el
primer punt donat és el centre i el segon el punt pel que volem
que passi la circumferència. Els passos a seguir seran els
següents:
- Tracem la recta perpendicular a la recta de
l'infinit que
passa pel centre, C, (el
primer punt).
- Tracem la circumferència que té centre a la
recta de
l'infinit i passa pel centre, C,
i el punt, D. Aquesta sempre
la
podrem construir perquè estem suposant que el centre i el punt D
no pertanyen a la mateixa perpendicular respecte la recta de
l'infinit.
- Tracem la recta euclidiana que passa per un dels punts
d'intersecció de la circumferència anterior amb la recta
de
l'infinit i pel punt D.
- Considerem la intersecció de la recta traçada
al pas (1)
amb
la recta traçada al pas (3). Designem per B el punt de la
intersecció. Es pot provar (Taller de
Geometria
Hiperbòlica.pdf) que aquest punt d'intersecció
existeix i
és un punt de la
circumferència hiperbòlica que volem determinar.
- Construïm l'altre punt de la
circumferència
hiperbòlica que
pertany a la recta traçada al pas (1) a partir de considerar la
homotècia de centre el peu de la perpendicular, O, de la recta
de (1) i raó CO·CO/BO.
El punt B es transforma en un
punt E que està a la
mateixa distància hiperbòlica del centre que el punt D i B per ser les homotècies
isometries del model del
semiplà.
- Construïm el punt mig euclidià, M, del segment euclidià
d'extrems B i C.
- Tracem la circumferència euclidiana amb centre M i radi el
segment des de M al punt
donat D. Aquesta és la
circumferència
hiperbòlica que volíem determinar.
En
aquesta construcció ens basem en que les isometries
conserven
les distàncies i seguim els passos de la demostració que
ens va
permetre comprovar que al model del semiplà es compleix l'axioma
3. En aquesta demostració vam construir una
circumferència de
centre un punt qualsevol i radi fixat. Per construir-la primer de
tot fixàvem un punt de la recta perpendicular a la recta de
l'infinit que estigués a la distància que indicava el
radi. Ara
tenim el centre de la circumferència, com abans, i un punt que
no
pertany a la recta que passa pel centre i és perpendicular a la
recta de l'infinit. Per tant, el primer que fem és construir un
punt que hi pertanyi i estigui a la mateixa distància i a partir
d'aquí seguim com al cas que ja coneixem. El punt que
construïm està a la mateixa distància perquè
la inversió respecte
la circumferència que té centre al punt que la recta
traçada en el
pas (3) talla la recta de l'infinit i passa pel punt BA
transforma el punt D en el
punt B i deixa fix el
centre, A.
El fet que aquesta inversió transforma el punt D en el B l'hem
provat també a la demostració citada anteriorment.
Llista d'eines
Geometria
hiperbòlica
