Macros amb Sketchpad.

En construir les macros per tal que es puguin dibuixar els objectes principals de la geometria hiperbòlica en dimensió 2 preteníem que aquestes es podessin utilitzar per estudiar-ne les seves propietats i entendre més les característiques de la geometria hiperbòlica. Gràcies a que el programa The Geometer Sketchpad permet construir objectes dinàmics, els objectes hiperbòlics que construïm també són dinàmics i, per tant, es poden estudiar relacions entre objectes amb més d'una posició entre ells.

En el model del semiplà les rectes hiperbòliques són de dos tipus que, des del punt de vista euclidià s'han de considerar diferents. Les rectes hiperbòliques, en aquest model, coincideixen o bé amb semicercles amb centre a la recta de l'infinit o bé amb rajos perpendiculars a la recta de l'infinit.

Quan volem fer un dibuix en geometria hiperbòlica, per exemple d'un triangle, una manera natural de fer-lo és considerant que un dels segments està sobre una recta perpendicular (a la recta de l'infinit).

En un primer moment, però, les macros només permetien dibuixar rectes (rajos i segments) quan aquests coincidien amb un semicercle euclidià. Això es va fer així ja que l'Sketchpad no permet utilitzar sentències de programació cosa que va fer més difícil que es podessin distingir els dos casos. De totes maneres, consideràvem que és important que es puguin veure els dos casos. Per això, ara, s'han modificat les eines inicials de manera que es poden dibuixar els objectes amb qualsevol disposició dels punts.

Per construir les macros de manera que es dibuixin tots els casos hem utilitzat que l'Sketchpad, en crear una nova eina, permet guardar objectes que has construït però que amb la disposició en concret a partir de la qual es crea l'eina no apareixen. Això és precisament el que necessitàvem, que la circumferència o el raig només es dibuixessin quan calgui però que es guardin a la construcció de l'eina.

De totes maneres, havíem de fer que només dibuixés el raig euclidià en el cas en que els dos punts estan a la mateixa perpendicular. Per això vam utilitzar unes macros de Scott Stekette, Boolean Tools, que permeten decidir si dos valors són iguals o no.

Anem a descriure amb l'exemple de la recta com hem construït l'eina:

    (1) Fixem la recta de l'infinit que passa per A i B.
    (2) Considerem dos punts C, D.
    (3) Calculem la coordenada x de cada punt.
    (4) Utilitzem la macro de Scott Stekette que permet decidir si dos valors són iguals aplicat a la coordenada x del punt. Obtindrem el valor 1 si els dos valors són iguals i 0 si no. Utilitzant aquest número farem que dibuixi el raig euclidià que passa pels dos punts si el valor és 1 i que, aparentment, no el dibuixi si és 0.
    (5) Considerem la perpendicular a la recta de l'infinit que passa per C.
    (6) Considerem el raig que comença al peu de la perpendicular anterior, E, i que conté el punt A. Observem que aquest raig està contingut a la recta de l'infinit.
    (7) Mesurem l'angle AEC. El valor d'aquest angle serà ±90º, però és important calcular-lo per determinar el signe.
    (8) Rotem el raig del pas (6) amb un angle de (valor del pas 4).(angle AEC) i amb centre de rotació el punt E. D'aquesta manera fem una rotació d'angle 0º si els dos punts, C i D, no estan a la mateixa perpendicular a la recta de l'infinit i, per tant, no apareix cap raig euclidià. En canvi, si els dos punts estan a la mateixa perpendicular a la recta de l'infinit fem una rotació d'angle ±90º. La rotació coincideix amb la recta hiperbòlica que passa pels punts C, D.

Fins aquí, ja dibuixem la recta hiperbòlica quan aquesta ha de ser un raig euclidià.

    (9) Posem els punts C, D de manera que no estiguin a la mateixa perpendicular. Seguim tots els mateixos passos que vam seguir per construir la recta hiperbòlica.

D'aquesta manera ja dibuixem la recta en els dos casos.

Ara bé, si es proven de fer els passos anteriors es veu que encara hi ha situacions en les que no dibuixa res. Aquestes es troben quan els dos punts no estan alineats però falta "molt poc" perquè ho estiguin. Llavors, el radi de la circumferència que els uneix és molt gran i no la dibuixa.

Per tal d'arreglar aquest problema, es pot veure que deixa de dibuixar la circumferència quan el radi és més gran que 400 unitats. Llavors, hem afegit els passos següents:

    (10) Mesurem la distància entre el peu de la perpendicular per C (aquest tendeix a un dels punts del cercle que passa per C i D, quan els dos punts tendeixen a la mateixa perpendicular) i el punt que hauria de ser el centre de la circumferència. Aquest punt s'ha dibuixat en el passos per construir la recta hiperbòlica en el cas que els dos punts no estan a la mateixa perependicular.
    (11) Utilitzant les macros Booleanes Tools decidim si aquesta distància és més gran de 400. Si ho és, l'eina ens retorna 1 i si no, 0.

Ara utilitzem la mateixa idea que abans per dibuixar el raig euclidià que passa pels punts C i D. Aquest raig aproxima la recta hiperbòlica que passa pels dos punts. Per tal de dibuixar aquest raig fem:

    (12) Mesurem l'angle AED, on E és el peu de la perpendicular de la recta del pas (5).
    (13) Considerem, altra vegada, el raig que comença al punt, E, i que conté el punt A. Observem que aquest raig està contingut a la recta de l'infinit.
    (14) Rotem el raig anterior amb un angle de (valor del pas 10).(angle AEC) i centre de rotació el punt E. D'aquesta manera fem una rotació d'angle 0º si pels dos punts, C i D, ja hi passa un cercle o un raig i fem una rotació d'angle AED si no.

D'aquesta manera aconseguim que donats dos punts qualssevol del pla hiperbòlic l'eina recta hiperbòlica dibuixi la recta hiperbòlica que passa per aquests dos punts.

Per les altres eines hem seguit un procés semblant per aconseguir que faci la construcció en qualsevol disposició inicial dels punts.

Geometria hiperbòlica
Pàgina principal