Perpendicular hiperbòlica

Per traçar la perpendicular per un punt distingirem dos casos; segons si el punt pertany a la recta o és exterior a aquesta.


Per punt sobre la recta

Sabem que podem traçar una única perpendicular a la recta que passa per aquest punt ja que aquest resultat és cert en Geometria Absoluta. Per construir la perpendicular hiperbòlica utilitzarem un raonament semblant al que vam utilitzar per la mediatriu.

Per aquesta construcció necessitem una recta hiperbòlica i un punt que pertanyi a aquesta recta. Com que hem d'assegurar que el punt pertanyi a la recta primer només marquem dos punts, per construir la recta, després marquem un punt que hi pertanyi.
  1. Construïm la recta hiperbòlica que passa pels dos punts.
  2. Determinem el punt, P, de la recta pel que volem traçar la perpendicular.
  3. Tracem la recta tangent a la recta hiperbòlica traçada a (1) que passa pel punt P. Això ho fem a partir de traçar la recta normal, a partir del radi i considerar la perpendicular.
  4. Tracem la circumferència de centre el punt d'intersecció de la recta tangent i la recta de l'infinit que passa per P.
  5. Considerem els dos punts d'intersecció d'aquesta circumferència amb la recta de l'infinit.
  6. Tracem l'arc que té origen en un dels punt d'intersecció anterior, passa per P i acaba en l'altre punt d'intersecció. Aquesta és la recta perpendicular que estem buscant.


Per provar que aquesta recta hiperbòlica que hem construït és la recta perpendicular n'hi ha prou amb veure que forma angles rectes al tallar amb la recta inicial. Com en el cas de la bisectriu, tenim que això és cert perquè podem trobar una inversió amb centre la recta de l'infinit que ens assegura que els angles són rectes. La inversió que cal considerar és la donada per la circumferència que volem provar que és la recta perpendicular que busquem. Aquesta té el centre, O, a la recta de l'infinit. Considerem una recta qualsevol que passa pel centre d'inversió i talla la recta hiperbòlica considerada en dos punts, C i D. La potència des del punt O a la recta hiperbòlica ens permet afirmar que: OP·OP=OC·OD i per ser OP el radi de la circumferència d'inversió obtenim que els punts C i D són inversos l'un de l'altre. Així doncs, l'angle format per la circumferència d'inversió i el segment PC es transforma en l'angle format per la mateixa circumferència i el segment PD. Com que aquests dos angles són adjacents i iguals són, per definició, rectes. D'aquí podem afirmar que la recta hiperbòlica traçada és la perpendicular.

Cal tenir en compte que en utilitzar aquesta eina, no ens demanarà el tercer punt, sinó que en posarà un per defecte. Per obtenir la perpendicular des del punt, sobre la recta, que volem només cal que desplacem el que ha donat.
Per punt exterior

Per construir la perpendicular en el cas en què el punt és exterior a la recta utilitzarem la bisectriu hiperbòlica i les paral·leles. Sabem que donada una recta hiperbòlica i un punt exterior a aquesta existeix un única recta perpendicular a la donada que passa per aquest punt. Aquesta afirmació és certa per ser-ho a la Geometria Absoluta. Per poder utilitzar aquest eina serà necessari tenir una recta, que determinarem a partir de dos punts, i un punt exterior a aquesta recta. En aquesta construcció suposarem que la recta hiperbòlica és una semicircumferència de centre la recta de l'infinit.
Per construir la perpendicular per un punt exterior seguirem els següents passos:
  1. Construïm la recta hiperbòlica que passa pels dos primers punts.
  2. Construïm les dues paral·leles a la recta hiperbòlica construïda al pas anterior i que passen pel tercer punt; el punt exterior.
  3. Seguim els passos que ens permeten construir la bisectriu però només fins al pas (14). Hem construït la circumferència que conté la bisectriu. No ens interessa determinar exactament la bisectriu ja que ara volem una recta i no pas un raig.
  4. Tracem l'arc de circumferència que ens determinarà la perpendicular a partir de considerar l'arc que té origen en un dels dos punts d'intersecció de la circumferència anterior amb la recta de l'infinit, passa pel punt P i acaba a l'altre punt d'intersecció.


D'aquesta manera podem determinar la perpendicular des d'un punt exterior. Tots els passos estan ben definits, si suposem que els dos punts inicials no pertanyen a una recta perpendicular a la recta de l'infinit, ja que utilitzen construccions que ja sabem que, en aquesta situació, sempre podem fer. A més, la recta traçada és perpendicular perquè l'hem construït a partir de les rectes paral·leles i sabem que donat un punt exterior si tracem la perpendicular per aquest punt i les rectes paral·leles tenim que els angles que forma cada una de les paral·leles amb la perpendicular són iguals. Per tant, si tenim les dues paral·leles i una altra recta que divideix l'angle que formen per la meitat aquesta recta serà la perpendicular ja que complirà el mateix que compleix la perpendicular i tenim unicitat de perpendicular per un punt exterior a una recta per tenir-ne a la Geometria Absoluta.

Llista d'eines
Geometria hiperbòlica