Horocicle hiperbòlic

Sabem que l'horocicle, en el model del semiplà de Poincaré de la Geometria Hiperbòlica, és una recta euclidiana paral·lela a la recta de l'infinit que passa pel punt de la circumferència que hem fixat o una circumferència hiperbòlica tangent a la recta de l'infinit que passa pel punt (i té el centre sobre la recta perpendicular en la que el desplacem). En aquesta construcció farem els dos horocicles. Necessitarem dos punts, un serà el centre hiperbòlic de la circumferència i l'altre el punt de la circumferència a partir del qual volem traçar els horocicles.
  1. Tracem la circumferència hiperbòlica que té centre en el primer punt donat i passa pel segon.
  2. Tracem la recta paral·lela (en el sentit euclidià) a la recta de l'infinit que passa pel segon punt. Aquesta recta és un dels horocicles.
  3. Tracem la perpendicular a la recta de l'infinit que passa pel centre de la circumferència hiperbòlica traçada a (1).
  4. Construïm la intersecció de la recta perpendicular del pas anterior amb la recta de l'infinit.

    5. En els següents passos tracem la mediatriu euclidiana al punt fixat i a la intersecció anterior. Seguirem els mateixos passos que en totes les altres construccions que la necessitem:
  5. Tracem el segment euclidià entre el punt fixat de la circumferència de (1) i la intersecció anterior.
  6. Tracem el punt mig euclidià del segment anterior.
  7. Construïm la recta perpendicular euclidiana al segment pel punt mig. Aquesta recta és la mediatriu.
  8. Construïm la intersecció entre la mediatriu i la recta perpendicular traçada a (3).
  9. Tracem la circumferència euclidiana que té com a centre la intersecció anterior i passa pel punt fixat. Aquest és l'altre horocicle.


Observem que podem veure com realment els dos llocs geomètrics que hem anomenat horocicles en compleixen la definició. Si movem el centre de la circumferència hiperbòlica per la recta perpendicular a la recta de l'infinit que passa pel centre, primer en un sentit i després en l'altre, obtindrem que la circumferència s'aproxima, en un cas, a la recta traçada al pas (2) i, en l'altre, a la circumferència tangent. Cal observar, però, que la circumferència tangent no la construeix ja que, en el moment en què fem que la circumferència hiperbòlica talli la recta de l'infinit aquesta desapareix. Això ja és coherent amb la definició del model; considerem que els punts de la recta de l'infinit no són punts del model.

Llista d'eines
Geometria hiperbòlica