Inversions respecte d'una
circumferència, al pla euclidià
Les inversions
són aplicacions definides al pla euclidià menys un punt.
També
s’anomenen simetries respecte d’una circumferència.
Donada una circumferència k
amb radi r i centre O i un punt A diferent del centre de la
circumferència definim la inversió
del punt A
com el punt A' de la
semirecta OA que compleix OA.OA = r2.
Direm que A' és l’invers de A respecte k.
Del punt O en diem centre de la inversió o pol
de la inversió.
Algunes propietats de les inversions:
- Si A
és un punt exterior (resp. interior) de la circumferència
llavors A' és un punt interior (resp. exterior).
- Els punts
de la circumferència k són
invariants respecte la inversió de k.
- Si apliquem
dues vegades una inversió respecte la mateixa
circumferència obtenim la identitat. Diem que les inversions
són aplicacions involutives.
- Transformen
les rectes que no passen pel centre d’inversió en
circumferències que passen pel centre d’inversió.
- Transforma
les circumferències que passen pel centre d'inversió en
rectes que no passen pel centre d'inversió.
- Transforma
les circumferències que no passen pel centre d’inversió
en circumferències que tampoc passen pel centre
d’inversió.
- Conserven
els angles, és a dir, són aplicacions comformes.
A Taller de Geometria Hiperbòlica.pdf
(pàgines 21-28) es donen les propietats anteriors junt amb la
seva demostració, altres propietats i l'expressió en
coordenades. També hi ha explicat com podem trobar el punt
invers d'un punt donat.
A inversions.gsp hi ha la macro que
permet fer inversions de punts respecte qualsevol circumferència
del pla euclidià.
Per tal de construir-la va ser necessari distingir dos casos, segons si
el punt està a l'interior o a l'exterior de la
circumferència.
Relació amb les isometries del
pla hiperbòlic:
En el model del semiplà, les isometries són la
composició d'inversions respecte rectes. Recordem que les rectes
coincideixen amb les semicircumferències amb centre a la recta
de l'infinit. Per les propietats anteriors tenim fàcilment que
realment aquestes transformacions són isometries del pla
hiperbòlic, és a dir, conserven distàncies i
angles. Conserven els angles ja que els conserven com a transformacions
del pla euclidià i el model del semiplà de la geometria
hiperbòlica és un model conforme: donades dues corbes que
es tallen al pla hiperbòlic, el valor de l'angle
hiperbòlic amb que es tallen coincideix amb el valor de l'angle
euclidià, pensant les corbes com a corbes del pla
euclidià.
Geometria
hiperbòlica
Pàgina
principal
