Circumcentre
hiperbòlic
El
circumcentre és el punt on es tallen les tres mediatrius.
Per construir
el circumcentre d'un triangle arbitrari només cal considerar
tres punts, els vèrtexs del triangle, traçar el triangle
amb l'eina triangle
hiperbòlic i cada una de les mediatrius amb
l'eina mediatriu
hiperbòlica. Marquem la intersecció, si
existeix.
Ens podem trobar que les tres mediatriu no es tallin. Si és
així
movem algun dels punts del triangle fins que ja es tallin.
D'aquesta manera es podrà marcar el punt de la
intersecció i, en moure els vèrtexs del triangle, sempre
que estiguem en una situació que les tres mediatrius es tallen
apareixarà el punt d'intersecció i si no, no.
Observem que el punt que obtenim de la intersecció de les
mediatrius compleix que està a la mateixa distància de
cada un
dels tres punts del triangle. Això és cert perquè,
igual que a la
Geometria Euclidiana, tenim que la mediatriu és el lloc
geomètric
dels punts que equidisten de dos punts donats. Així doncs, si
tenim un punt que pertany a tres mediatrius equidistarà de cada
un
dels extrems dels segments que determinen cada mediatriu.
El circumcentre és, per tant, el centre de la
circumferència
que passa pels tres vèrtexs. Així doncs, estudiar quan
existeix
aquesta intersecció és el mateix que estudiar quan
existeix una
circumferència que passa per tres punts. Al text Taller de Geometria Hiperbòlica.pdf (al
paràgraf Circumferència hiperbòlica de l'apartat
Relacions mètriques) hem classificat les diferents situacions
amb les què ens podem trobar. En el cas hiperbòlic pot
passar que donats tres punts no alineats hi passi una
circumferència (existència del circumcentre), un
horocicle (existència del circumcentre a la recta de l'infinit)
o una equidistant (no existència del circumcentre).
A partir d'aquesta eina és interessant estudiar si és
possible determinar quan, donats tres punts es pot assegurar que
existirà el circumcentre. Podeu trobar una
caracterització en funció de la longitud dels costats i
de l'angle major a Existència del circumcentre.
Triangles
Geometria
hiperbòlica