Triangle hiperbòlic equilàter

A la Geometria Hiperbòlica no existeixen els triangles semblants. Això és conseqüència de la relació entre longituds i angles que ens proporciona la fórmula de l'angle de paral·lelisme.
La no existència de triangles hiperbòlics semblants implica l'existència d'un únic triangle equilàter hiperbòlic fixat l'angle. Recordem que una altra de les diferències entre la Geometria Euclidiana i la Geometria Hiperbòlica és el valor de la suma dels angles d'un triangle. A la Geometria Hiperbòlica aquesta suma sempre serà inferior a dos angles rectes. Per tant, no serà obligatori que cada un dels angles d'un triangle equilàter tingui 60º. De fet, no trobarem cap triangle equilàter hiperbòlic amb els angles d'exactament 60º. Si fos així la suma dels angles d'aquest triangle seria de dos rectes, cosa que no és possible. Es pot veure que per a qualsevol valor entre 0 i 60º, ambdós no inclosos, tenim un únic triangle equilàter, llevat d'isometries.


Anem a construir un triangle equilàter hiperbòlic.
Per construir el triangle hiperbòlic equilàter podem seguir els següents passos:
  1. Tracem una semirecta euclidiana qualsevol que tingui l'origen, M a la recta de l'infinit i que no sigui paral·lela a aquesta.
  2. Considerem dos punts, B i C diferents i qualssevol d'aquesta semirecta. Aquests seran dos dels tres punts del triangle. 
  3. Busquem la inversió amb centre a la recta de l'infinit que transforma un punt en l'altre. El punt que talla la circumferència d'inversió a la semirecta estarà entre els dos punts. Per trobar la inversió determinarem aquest punt, de fet, el radi de la circumferència a partir d'aquest punt. Utilitzem que perquè un punt sigui invers d'un altre cal que es compleixin dues condicions. Han d'estar alineats amb l'origen de la inversió i el producte de la distància de cada punt a l'origen ha de ser el radi de la circumferència al quadrat. La primera afirmació ens assegura que l'origen de la inversió que estem buscant és el punt d'intersecció de la semirecta amb la recta de l'infinit. Per tant, un punt de la circumferència ens la determinarà. A partir d'imposar que els punts B i C són inversos tenim que el radi és √MB·MC. Tracem, doncs, la circumferència de centre M i radi la longitud anterior. Cal que el tercer punt, A, del triangle equilàter estigui sobre aquesta circumferència, així podrem afirmar que el segment hiperbòlic AB es transforma en l'AC ja que A serà fix i B i C són inversos.
  4. Tracem la circumferència hiperbòlica de centre B i radi BC.
  5. Considerem un dels dos punts d'intersecció d'aquesta circumferència hiperbòlica amb la circumferència d'inversió. Aquest punt serà el tercer vèrtex del triangle equilàter hiperbòlic que volíem construir.
Aquesta construcció ens dóna un triangle equilàter ja que tenim que la longitud de tots els costats és la mateix. Podem provar aquesta afirmació a partir de provar que la longitud d'un costat és la mateixa que la dels altres dos. Per pertànyer A a la circumferència d'inversió que transforma B en C tenim que la longitud de AB és la mateixa que la de AC. Però la longitud de AB també és la mateixa que la de BC ja que també hem construït A de manera que pertanyi a la circumferència hiperbòlica de centre B i radi BC i, per definició, tots els punts d'una circumferència equidisten del centre i la distància és el radi.
Per comprovar empíricament que realment és equilàter podem utilitzar la funció longitud. Si mesurem cada un dels segments constatarem que els tres segments tenen la mateixa longitud i, per tant, el triangle és equilàter. També podem mesurar els angles i veurem que tots tres també tenen la mateixa amplitud (i que aquesta ve determinada per la longitud dels segments).

També podem construir el triangle equilàter d'una altra manera. Utilitzarem que els punts d'una circumferència tenen la propietat d'estar tots a la mateixa distància del centre. Així podem seguir els següents passos:
  1. Marquem dos dels vèrtexs del triangle equilàter, A, B.
  2. Tracem la circumferència hiperbòlica amb centre el primer punt i que passi pel segon.
  3. Tracem la circumferència hiperbòlica amb centre el segon punt i que passi pel primer.
  4. Considerem els punts d'intersecció de les dues circumferències. Aquests dos punts estan a la mateixa distància de cada un dels dos punts fixats. Això és perquè pertanyen a les dues circumferències amb centre cada un dels punts.
  5. Tracem el triangle hiperbòlic que té per vèrtexs els dos punts fixats i un dels dos punts d'intersecció del pas anterior. Aquest triangle és equilàter.
Per provar que el triangle és equilàter només cal veure que la longitud de cada un dels costat és la mateixa. La longitud del costat AC és igual que la del costat AB per ser B i C dos punts de la circumferència hiperbòlica amb centre A. La longitud del costat AB també és igual que la del costat BC per ser A i C dos punts de la cirucmferència amb centre B. Per tant, la longitud dels tres costats és la mateixa. Així el triangle és quilàter.

Movent els vèrtexs fixats obtindrem tots els altres triangles equilàters. Igual que abans podem comprovar empíricament que el triangle obtingut realment és equilàter.

Triangles
Geometria hiperbòlica