1. Una consulta no gaire usual

De cara a les properes eleccions municipals,  el passat 15 de març de 2023, el col·lectiu  Independents Sant Cugat  va decidir  la seva llista ordenada de candidats mitjançant una consulta entre els seus adherits. Per fer això es va procedir de la manera següent: Inicialment hi havia 10 candidats. Cada votant n’havia de seleccionar un màxim de cinc i posar-los per ordre de preferència. El primer rebia 5 punts, el segon 4, el tercer 3, el quart 2 i el cinquè 1. L’ordre final es va determinar d’acord amb el total de punts obtinguts per cada candidat, llevat que després es va fer una reordenació parcial mínima per tal de complir amb la paritat de gènere.

A continuació ens referirem als 10 candidats que hi havia mitjançant les lletres a, b, c, d, e, f, g, h, i, j. Entre altres coses, així fem abstracció de la seva identitat real, la qual cosa és essencial per a ser imparcial a l’hora de valorar diferents mètodes de votació.

Van votar 95 persones, però hi va haver 2 vots en blanc. El mètode que s’ha dit més amunt va donar el següent resultat:

Candidat a b c d e f g h i j
Punts 84 24 252 135 59 211 102 145 196 90
Taula 1. Puntuacions obtingudes pels diversos candidats segons el mètode de Borda

Per tant, l’ordre resultant (llevat que mancaria la reordenació final en cremallera de gènere) és el següent:

c  >  f  >  i  >  h  >  d  >  g  >  j  >  a  >  e  >  b        (1)

Nota: Agraïm a Independents Sant Cugat el seu permís per accedir a l’escrutini i prendre nota dels vots i al nostre company Joan Josep Carmona que fés aquesta feina.

 

2. Un defecte important

Aquest mètode és prou raonable: Els punts quantifiquen l’ordre de preferència, i la suma de punts respecte els diferents votants amitjana la diversitat de les seves preferències. No és estrany, doncs, que ja hagi estat utilitzat abans (amb possibles variacions en els punts obtinguts en funció de la posició ordinal). De fet, ja en el segle XV havia estat proposat per Nicolau de Cusa. Actualment se’l coneix com a mètode de Borda, per Jean Charles de Borda, que vers 1784 va proposar aquesta idea en una memòria presentada a l’Acadèmia francesa de les Ciències. A partir del 1795, aquesta institució va utilitzar aquest mètode de manera bastant habitual, per exemple, a l’hora d’elegir nous membres.

Però pels volts de 1800 aquesta pràctica va posar en evidència un defecte important. Per exemple, imaginem-nos que hi ha cinc candidats a,b,c,d,e entre els quals destaquen com a grans favorits els dos primers, a i b. Més concretament, suposem que hi ha 100 votants i que 60 d’ells posen a en primer lloc i b en segon lloc, mentre que els 40 restants posen b en primer lloc i a en cinquè (i últim) lloc. D’acord amb el mètode de Borda, el candidat a obté un total de 60×5+40×1 = 340 punts, mentre que el candidat b n’obté 60×4 + 40×5 = 440 punts. Per tant b queda en primera posició (no costa gaire de convèncer-se que en aquestes condicions els candidats c,d,e no poden superar la puntuació de b). Però això no és correcte, perquè contradiu una majoria absoluta de votants —60 de 100— que prefereixen en primer lloc el candidat a.

En aquest exemple podria estar passant que els 40 votants que posen el candidat a en últim lloc no pensessin realment així: si fossin sincers, potser posarien a en segon lloc, però opten per posar-lo en últim lloc a fi de que guanyi b. Davant d’això, també ens podem imaginar que els partidaris de a reaccionessin (potser en unes properes eleccions) posant b en últim lloc… En qualsevol cas, ja es veu que el mètode de Borda pot donar resultats injustos i que pot induir a “mentir” en el vot.

Segons certs testimonis d’aquella època, Borda va respondre a aquestes objeccions dient que “El meu procediment només està fet per a gent honesta”.

 

3. El punt de vista de la comparació per parelles

En el fons, el problema és que el resultat del mètode de Borda sobre els candidats a i b depèn de si hi ha o no altres candidats. En el cas hipotètic precedent, on hem considerat 5 candidats, el candidat b queda per davant de a. Però si només es presentessin aquests dos candidats, llavors, amb les mateixes preferències dels votants sobre ells, el mètode de Borda posa el candidat a per davant de b (encara que donem 5 punts a la primera posició i 4 a la segona).

Davant d’això, un altre acadèmic de l’època, Nicolas de Condorcet, va insistir que calia tenir en compte totes les comparacions per parelles. Sense saber-ho, estava redescobrint un punt de vista que ja havia estat introduït bastant més abans, concretament cinc-cents anys abans per Ramon Llull.

Si tenim 10 candidats, com en el cas concret que estem considerant, llavors el nombre de parelles que es poden formar és 10×9/2 = 45. Per a cadascuna d’aquestes parelles, formada per dos candidats x i y, es tracta de comptar quants votants prefereixen x a y i quants prefereixen y a x (per tant, hi ha 90 valors a tenir en compte).

En principi aquesta informació està continguda en els vots. Això és certament així quan el votant ordena tots el candidats. Si només n’ordena un subconjunt, com era el cas de la consulta d’Independents Sant Cugat, llavors se sol entendre que qualsevol dels candidats inclosos en el vot és preferit a qualsevol dels no inclosos; d’altra banda, també és raonable entendre que el votant no dona cap informació sobre la seva preferència entre dos candidats que no ha inclòs en el seu vot.

Amb aquesta interpretació, el recompte de les preferències dels votants per a totes les parelles de candidats resulta en la taula següent, on la casella situada a la fila x i columna y dona el nombre de votants que prefereixen x a y (i la casella situada a la fila y i columna x dona el nombre de votants que tenen la preferència contrària). D’aquesta taula en diem la matriu de Llull de la votació.

a 30 22 24 29 13 27 19 19 21
7 b 6 10 10 9 7 10 5 8
64 68 c 58 69 51 63 53 47 63
38 43 27 d 44 27 40 33 29 38
23 26 8 15 e 15 19 19 14 24
52 58 40 50 52 f 45 54 41 52
37 37 13 25 35 32 g 32 20 31
45 49 35 37 46 19 43 h 36 43
50 58 38 48 51 35 50 45 i 53
25 29 21 23 27 15 29 19 18 j
Taula 2. La matriu de Llull de la votació

Segons aquestes xifres, doncs, el candidat a va ser preferit a b per 30 votants, davant de només 7 que van expressar la preferència contrària, de manera que si volem ordenar tots els candidats convé posar a per davant de b. Similarment, escau de posar c per davant de a, ja que el primer “guanya” al segon per 64 a 22, i també per davant de b, en el qual cas la victòria és per 68 a 6. De fet, podem veure que c guanya en aquest sentit a qualsevol altre candidat, de manera que correspon donar-li la primera posició. Prosseguint amb la mateixa idea, s’acaba veient que en aquest cas la matriu de Llull porta a la mateixa ordenació (1) que s’havia obtingut mitjançant el mètode de Borda.

 

4. De vegades les victòries per parelles no formen un ordre

Tanmateix, en general no té perquè ser així. Com en una lliga esportiva, aquí també pot passar que x guanyi a y, y guanyi a z i z guanyi a x. Una situació d’aquest tipus s’anomena un cicle de Condorcet. Llull no parla directament d’aquesta possibilitat, però les seves propostes porten a creure que la tenia prou present.

Per il·lustrar el problema, ho farem amb una altra matriu de Llull que també podríem associar a la mateixa votació. En efecte, més amunt hem interpretat que qualsevol dels candidats inclosos en un vot és preferit a qualsevol dels no inclosos. Segons el context, però, podria ser més apropiat entendre que els candidats no inclosos en un vot són persones sobre les quals el votant no té cap opinió, ni positiva ni negativa, i que el vot no dona cap informació sobre la preferència entre un candidat inclòs i un altre no inclòs. En altres paraules, ara entenem que un vot només dona informació preferencial sobre una parella de candidats quan tots dos són inclosos explícitament en el vot.

Amb aquesta interpretació, el recompte de les preferències dels votants per a totes les parelles de candidats resulta llavors en la matriu de Llull següent:

a 5 7 8 3 6 3 7 8 4
0 b 3 3 0 0 3 3 0 0
8 6 c 19 18 18 27 17 20 8
6 2 13 d 11 8 15 15 10 6
1 2 2 2 e 6 5 6 7 2
17 3 20 19 11 f 8 33 23 14
3 5 8 6 7 13 g 9 8 0
11 2 18 13 7 4 8 h 13 10
11 7 24 17 12 17 20 16 i 11
9 4 8 8 2 6 9 9 5 j
Taula 3. Matriu de Llull alternativa

Amb aquestes xifres, les victòries en els enfrontaments entre candidats no són pas les mateixes que abans. I tal com hem avançat, no són consistents amb cap ordre. Així per exemple, el candidat f guanya a c per 20 a 18, c guanya a g per 27 a 8, i al mateix temps g guanya a f per 13 a 8. Per tant no queda gens clar com correspon ordenar aquests tres candidats. A banda que no és pas l’únic cicle d’aquest tipus (un altre el formen, per exemple, els candidats g,h,j), i que altres vegades passa simplement que hi ha empats, com ara entre a i g o entre c i j.

Aquest problema no és pas exclusiu d’aquesta segona manera d’interpretar els vots incomplets (els que que no ordenen tots els candidats). Amb altres dades, el mateix tipus de problema pot sorgir perfectament amb la primera interpretació.

 

5. Una proposta de Ramon Llull i una altra a l’estil de Borda

Davant d’això, es planteja la pregunta de com ho hem de fer per a ordenar els candidats a partir de la informació que dona la matriu de Llull. En relació amb això, Ramon Llull va fer un parell de propostes, una de les quals consisteix simplement en ordenar els candidats pel nombre de victòries que cadascun d’ells aconsegueix en els seus enfrontaments amb els altres (un empat es compta com a mitja victòria). Aplicat a la segona matriu, aquest recompte dona els següents nombres de victòries:

Candidat a b c d e f g h i j
Victòries 3.5 2 5.5 3 1.5 8 4.5 4 8 5
Taula 4. Nombre de victòries de cada candidat segons la matriu de la taula 3

Per tant, l’ordre resultant (llevat que mancaria la reordenació final en cremallera de gènere) és el següent, que no coincideix pas amb (1) (el signe = indica un empat):

f  =  i  >  c  >  j  >  g  >  h  >  a  >  d  >  b  >  e        (2)

Una altra manera, aparentment raonable, de procedir consisteix en puntuar cada candidat per la suma dels valors que apareixen a la fila corresponent de la matriu de Llull, és a dir, pel nombre total de vegades que un votant l’ha considerat preferible a un altre candidat. En el cas que ens ocupa, aquestes sumes prenen els valors següents:

Candidat a b c d e f g h i j
Punts 51 12 141 86 33 148 59 86 135 60
Taula 5. Puntuacions obtingudes pels diversos candidats segons la matriu de la taula 3

que donen l’ordre següent:

f  >  c  >  i  >  d  =  h  >  j  >  g  >  a  >  e  >  b        (3)

Tanmateix, resulta que aquest procediment té el mateix inconvenient que el mètode de Borda: Un candidat podria ser considerat el millor per una majoria absoluta de votants i tot i així no quedar situat en primer lloc. De fet, quan els votants donen ordres complets, llavors els dos mètodes (Borda i ordenar segons les sumes de files de la matriu de Llull) són exactament equivalents entre si.

 

6. Revisió per camins

En general, doncs, el problema és prou complicat. Una manera molt interessant de resoldre’l, introduïda el 1997 per Markus Schulze, consisteix en revisar els valors de les entrades de la matriu de Llull d’acord amb una certa lògica que té la virtut de fer desaparèixer els cicles de Condorcet. Així, per exemple, encara que en principi només hi ha 8 votants que prefereixen f a g, també és cert que n’hi ha 23 que prefereixen f a i, 24 que prefereixen i a c, i 27 que prefereixen c a g; per tant, prenent el mínim d’aquestes tres quantitats, podem dir que la preferència de f sobre g té un suport indirecte de 23 votants. Aplicant aquesta idea de manera sistemàtica, es passa de la matriu de Llull original a una matriu revisada que en aquest cas és la següent:

a 7 8 8 8 8 8 8 8 8
3 b 3 3 3 3 3 3 3 3
17 7 c 19 18 18 27 18 20 14
15 7 15 d 15 15 15 15 15 14
7 7 7 7 e 7 7 7 7 7
17 7 23 19 18 f 23 33 23 14
13 7 13 13 13 13 g 13 13 13
17 7 18 18 18 18 18 h 18 14
17 7 24 19 18 18 24 18 i 14
9 7 9 9 9 9 9 9 9 j
Taula 6. Matriu de Llull revisada a partir de la taula 3

Tal com hem apuntat més amunt, aquesta revisió “per camins” té la virtut de fer desaparèixer els cicles. Dit d’una altra manera, la matriu resultant sempre és compatible amb un ordre, possiblement amb empats. En el cas que ens ocupa, aquest ordre és el següent:

f  >  i  >  h  >  c  =  d  >  g  >  j  >  a  >  e  >  b        (4)

Aquesta ordenació difereix bastant de (2) i (3), però no tant de (1), en la qual coincidien tant el mètode de Borda com el de Llull amb la primera interpretació dels vots incomplets. La diferència entre (1) i (4) és que el candidat c passa de la primera posició a la quarta o quinta (empatant amb el candidat d). La resta de candidats, tots menys c, queden ordenats exactament igual.

Nota. En el cas de la matriu de la taula 2, la revisió per camins porta al mateix ordre (1) que la matriu sense revisar.

 

7. Conclusions

Tenim, doncs, una diversitat de mètodes que poden donar resultats diferents. Quin seria el més recomanable? Com hem vist, el mètode de Borda, que és essencialment el que s’ha usat aquesta vegada, podria arribar a donar resultats realment desencertats. A banda que indueix els votants a no expressar del tot les seves veritables preferències.

Per fer-ho bé no hi ha més remei que seguir el consell de Ramon Llull i basar-se en la taula de comparacions per parelles. Dit això, per passar d’aquesta taula a l’ordenació dels candidats encara no val qualsevol mètode. Una possibilitat és basar-se en el nombre de victòries de cada candidat en aquests enfrontaments per parelles. Amb aquest procediment, que és una de les propostes de Llull, ja no pot passar que deixi de guanyar un candidat amb una majoria absoluta de primeres posicions. Tanmateix, per ordenar bé tots els candidats és preferible revisar la matriu de Llull mitjançant els recolzaments indirectes, com s’ha explicat més amunt.

Tot plegat no és viable de fer-ho a mà (llevat que hi hagi pocs votants i molt pocs candidats). Cal, doncs, un ordinador i el corresponent programa informàtic. Vegi’s, per exemple, aquí.

Dit això, també és important que la informació que interpretem que proporciona un vot correspongui realment a l’opinió del votant sobre els diferents candidats. En relació amb això, és essencial que els votants es puguin informar suficientment sobre els diferents candidats, i que siguin conscients de com seran interpretats els vots incomplets. En aquest sentit, sembla prou adient la primera interpretació que hem fet més amunt, a saber, que qualsevol dels candidats inclosos en un vot és preferit a qualsevol dels no inclosos, i que un vot no dona cap informació de preferència (ni empat) entre dos candidats no inclosos.

Finalment, com més informació doni un vot millor. En relació amb això, i suposant que es donen les condicions del paràgraf precedent, no és convenient posar un límit superior al nombre de candidats que pot incloure un vot. Ans al contrari, potser no estaria de més posar-hi un límit inferior, és a dir, requerir que un vot inclogui un determinat nombre mínim de candidats, per exemple 3. Altrament, ens podem trobar que els votants estiguin donant massa poca informació. ❀