André Sainte-Laguë (Sent Martin de Curton, Gascunya, 1882 — Paris, 1950)
1. La seva aportació
El 1910 André Sainte-Laguë va escriure uns articles molt il·luminadors sobre el problema del repartiment dels escons d’un parlament entre diversos partits d’acord amb els vots que aquests han obtingut en unes eleccions. La seva proposta, que sovint s’anomena “regla de Sainte-Laguë”, equival a un procediment que ja havia estat introduït el 1832 per Daniel Webster en el context lleugerament diferent de repartir els escons d’un parlament entre diversos territoris d’acord amb la seva població. Ambdós autors van presentar la seva proposta com una alternativa a la regla de Victor D’Hondt (1882) que en el context del repartiment territorial havia estat introduïda ja per Thomas Jefferson a les darreries del segle XVIII.
Així doncs, André Sainte-Laguë no va ser pas el primer en proposar la regla que rep el seu nom. Tanmateix, sí que va ser el primer en demostrar que aquesta regla minimitza una certa mesura de desigualtat aplicada a la representació que obtenen els diferents electors. Més concretament, la quantitat minimitzada és la següent suma de quadrats de les desviacions respecte la proporcionalitat: \(\sum_i v_i ((n_i/v_i) – (n/v))^2,\) on \(i \) recorre els diferents partits, \(v_i \) és el nombre d’electors que voten pel partit \(i \), \(v\) és el nombre total de vots, \(n \) el nombre total d’escons a repartir, i \(n_i \) els que estem considerant d’assignar al partit \(i\). El quocient \(n_i/v_i\) es pot veure com la representació que obté cada votant del partit \(i\). Idealment no hauria de dependre de \(i \), i el seu valor hauria de ser \(n/v\). La desviació respecte a aquest ideal és la diferència \((n_i/v_i) – (n/v)\), que en la fórmula és elevada al quadrat per a que no importi el seu signe, i aquest quadrat apareix multiplicat per \(v_i\) a l’efecte de sumar les desviacions corresponents a tots els electors (altrament no estaríem tractant per igual els electors de partits diferents).
El resultat de Sainte-Laguë és remarcable, ja que els problemes d’optimització amb incògnites enteres no solen prestar-se a una solució explícita general. El punt crucial és la identitat \(k^2 = 1 + 3 + 5 + … + 2k-1\), on \(k\) és un nombre enter qualsevol, la qual identitat permet trobar la solució mitjançant un algorisme del mateix tipus que la regla de D’Hondt (però amb uns altres paràmetres).
En el seu article, Sainte-Laguë demostra també que la seva regla no afavoreix la formació de coalicions (com sí que fa la regla de D’Hondt) ni tampoc afavoreix la divisió d’un partit en diverses llistes (com sí que fa la regla de les restes majors). Relacionat amb això, també demostra matemàticament que amb la seva regla els partits petits obtenen en mitjana més escons que amb la regla de D’Hondt.
En el cas de múltiples circumscripcions defensa que els escons totals de cada partit haurien de respectar el repartiment que s’obtindria amb una sola circumscripció. De ben segur que valoraria positivament els diversos mètodes que s’han proposat darrerament per a compatibilitzar el repartiment global entre partits amb un repartiment territorial predeterminat.
Aquests resultats van ser objecte de dos articles que van ser publicats el 1910, quan André Sainte-Laguë tenia 28 anys i era professor de Matemàtiques Especials a l’institut de Douai. Els articles en qüestió van ser publicats respectivament als Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure [6], amb un resum als Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l’Académie des Sciences, i a la Revue Générale des Sciences Pures et Appliquées [7]. El primer d’aquests articles és el principal i la revista en qüestió tenia molt de sentit ja que Sainte-Laguë havia estudiat en aquella prestigiosa escola. Concretament, hi havia estudiat durant el període 1903–06, en què hi va tenir com a professors Émile Borel, Édouard Goursat i Émile Picard. El segon article repeteix la major part dels arguments del primer, però hi afegeix l’aplicació pràctica a les eleccions legislatives que havien tingut lloc aquell any a França, tot comparant els resultats de la seva regla amb els de les regles de D’Hondt i de les restes majors.
2. Breu nota biogràfica
André Sainte-Laguë havia nascut el 1882 al municipi de Sent Martin de Curton, a l’actual departament d’Òlt i Garona. Segons un dels seus biògrafs, va conservar sempre un saborós accent gascó [2]. Els seus pares eren mestres, feina que el 1887–94 va portar la família fins a Tahití (Polinèsia) [No a Haití, com es diu de vegades].
Dins de les matemàtiques, se sentia especialment atret pel seu vessant aplicat. A més del tema de la representació proporcional, un bon exemple d’això són els seus treballs de 1932–33 amb Antoine Magnan sobre aerodinàmica i sobre el vol d’ocells i insectes.
La seva tesi doctoral, defensada el 1924 a la Facultat de Ciències de Paris davant un tribunal que comptava amb la presència dels seus ex-professors Émile Borel i Émile Picard, es considera avui dia com el primer tractat sobre la teoria matemàtica de grafs [4].
Al llarg de tota la seva vida, André Sainte-Laguë es va dedicar molt a l’ensenyament i la divulgació, amb nombrosos llibres de text i altres d’entreteniment. I fins i tot amb pel·lícules, com les va fer el 1937 per a les sales de Matemàtiques de l’Exposition Internationale des Arts et Techniques dans la Vie Moderne (al Palais de la Découverte, Paris).
Les seves xerrades tenien tant d’èxit que en certa ocasió va arribar a tenir una audiència de prop de 2500 persones, les quals van haver de ser repartides en tres torns per tal de complir amb l’aforament de la sala (l’amfiteatre Paul Painlévé, al Conservatoire National des Arts et Métiers) que era de 900 seients [2].
Així es deuria veure l’amfiteatre Paul Painlévé, del Conservatoire National des Arts et Métiers, en alguna de les famoses lliçons d’André Sainte-Laguë
Fins i tot quan ensenyava matemàtiques amb finalitat pràctica, Sainte-Laguë insistia no solament en la necessitat de fer exercicis teòrics, numèrics i gràfics, sinó també en la necessitat de distingir els arguments rigorosos dels que no ho són, en la importància d’un llenguatge correcte, en l’interès de l’abstracció i en no cedir davant dels estudiants que només volen conèixer receptes.
A més de la recerca i l’ensenyament, el currículum de Sainte-Laguë inclou també la seva estada al front de la Primera Guerra Mundial, on va ser ferit tres vegades, i múltiples activitats de gestió, com ara la seva pertinença a la Confédération des Travailleurs Intellectuels, de la qual en va ser un dels fundadors el 1920 i president des del 1929 fins la seva mort el 1950.
Per més detalls referim el lector a les notes biogràfiques de més avall.
Referències
1. A. Brard, 2023. André Sainte-Laguë (1882–1950): Itinéraires d’un enseignant de mathématiques au Conservatoire National des Arts et Métiers. Conferència donada el 16 de març de 2023 al CNAM.
2. J. Chastenet de Géry, 1994. Sainte-Laguë, Jean André (1882–1950). Professeur de Mathématiques générales en vue des ap`plications (1928–1950). Les Professeurs du Conservatoire national des arts et métiers, Dictionnaire biographique 1794–1955 (Institut National de Recherche Pédagogique, Conservatoire National des Arts et Métiers, Paris). Tome II, 522–525.
3. A. Dalançon, 2021. Sainte-Laguë, Jean [André]. Le Maitron
4. M.C. Golumbic, A. Sainte-Laguë, 2021. The Zeroth Book of Graph Theory. An annotated translation of Les Réseaux (ou Graphes) — André Sainte-Laguë (1926). Springer.
5. J.J. O’Connor, E.F. Robertson, 2023. André Sainte-Laguë (1882–1950) – Biography. MacTutor History of Mathematics.
6. A. Sainte-Laguë, 1910a. La représentation proportionnelle et la méthode des moindres carrés. Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure (3), 27: 529–541.
7. A. Sainte-Laguë 1910b. La représentation proportionnelle et les mathématiques. Revue Générale des Sciences Pures et Appliquées, 21: 846–852.