1. Elecció de representants mitjançant el vot preferencial. El procediment de vot únic transferible
Considerem el cas d’un col·lectiu que ha d’elegir una persona per a que els representi davant d’altres instàncies. Recordi’s que si l’elector es limita a indicar quin és el seu candidat més preferit, llavors el candidat més votat pot ser al mateix temps el més indesitjat. Davant d’això, convé que l’elector doni més info sobre les seves preferències entre els diversos candidats. En aquest sentit, sovint es considera que en lloc d’indicar un sol candidat, el més preferit, es pot indicar també una segona opció, així com una tercera, etcètera.
A partir d’uns vots d’aquesta forma, una manera natural de procedir és la següent:
- Per a cada candidat comptem quants vots el posen en primera posició.
- Si hi ha algun candidat per al qual aquest nombre de primeres posicions és una majoria absoluta (més de la meitat dels electors), llavors aquest candidat resulta elegit.
- En cas contrari, és a dir, quan cap candidat té una majoria absoluta de primeres posicions, llavors identifiquem el candidat que té menys primeres posicions i l’eliminem de tots els vots on apareix. En particular, els vots on figurava en primera posició són transferits a la segona opció, la qual queda llavors en primera posició. Fet això, tornem a comptar primeres posicions, a veure si ara hi ha algun candidat que arribi a una majoria absoluta.
- I així successivament, fins que algun candidat obtingui una majoria absoluta de vots, o bé fins que resti un sol candidat (independentment de si assoleix o no una majoria absoluta).
Suposem, per exemple, que hi ha tres candidats, a, b, c, i 30 electors, els quals voten de la manera següent:
Votació (1): 11 a > b > c, 10 b > c > a, 9 c > a > b.
És a dir, 11 electors expressen com a primera preferència el candidat a, com a segona el candidat b i com a tercera c, etcètera.
La majoria absoluta se situa en 16 vots. Com que cap candidat arriba a tenir tantes primeres posicions, s’elimina el que en té menys, que és c. En fer-ho així, els 9 vots que eren encapçalats per aquest candidat, són transferits a a, el qual assoleix ara 20 primeres posicions, superant així la majoria absoluta i resultant doncs elegit.
Aquest procediment es generalitza al cas de voler elegir n representants. En lloc d’una majoria absoluta, llavors per a ser elegit és requereix el nombre de vots que resulta de dividir el nombre total per n + 1. Per descomptat, en el cas n > 1 el procés es va repetint fins a assolir el nombre desitjat de representants.
Aquest procediment rep el nom de ‘vot únic transferible’. En el cas n = 1 també rep els noms de ‘vot alternatiu’, o ‘segona volta immediata’ (‘instant runoff’ en anglès). Tanmateix, el cas n = 1 és ben bé un cas particular, de manera que també hi escau la denominació de vot únic transferible. A continuació ens limitarem majorment al cas n = 1. D’altra banda, per no entretenir-nos en detalls poc importants, prescindirem de la manera de tractar els possibles empats.
2. Algunes propietats del vot únic transferible
El procediment de vot únic transferible compleix les propietats següents:
2.1. Propietat (A): En principi, l’elector pot limitar-se a indicar només el seu candidat més preferit. Si tots els electors ho fan així, llavors el procediment que estem considerant elegeix el candidat més votat, com en el procediment clàssic (de vegades anomenat ‘vot únic no transferible’).
En efecte, si aquest té una majoria absoluta llavors resulta elegit immediatament, i si no arriba a una majoria absoluta, llavors resulta elegit al final, després que hagin estat eliminats tots els altres candidats.
Dit això, amb el procediment del vot únic transferible és bastant d’esperar que els electors no es limitaran a indicar només el seu candidat més preferit, sinó que molts d’ells indicaran també altres opcions menys preferides, ja que això els dona més possibilitats d’un resultat del seu gust.
2.2. Propietat (B): Si no hi ha cap candidat que tingui, ell sol, una majoria absoluta de primeres posicions, però hi ha una majoria absoluta de vots que estan encapçalats pels mateixos dos candidats, en un ordre o en un altre, llavors resulta elegit un d’aquests dos candidats.
En efecte, siguin a i b els dos candidats en qüestió: hi ha una majoria absoluta de vots de la forma a > b… o b > a… Els altres vots no poden totalitzar cap majoria absoluta. Per tant, s’encetarà un seguit d’eliminacions. Els vots que comencen per a > b o b > a no poden ser transferits a altres candidats fins que no s’hagin eliminat tant a com b. Per tant, tard o d’hora arribarà el torn d’eliminar a o b. Més concretament, de tots dos s’eliminarà el que tingui menys vots en primera posició. Suposem que és a. Però llavors, en eliminar a, els seus vots seran transferits a b, i aquest reunirà una majoria absoluta.
2.3. Propietat (C): Les segones preferències d’una butlleta mai no perjudiquen ni afavoreixen el candidat de primera preferència d’aquella butlleta. Similarment, les terceres preferències no perjudiquen ni afavoreixen els candidats de primera i segona preferència. I així successivament.
Perquè les segones preferències d’una butlleta no entren en joc fins després que no queda decidit/determinat si resulta elegit o no el candidat de primera preferència d’aquella butlleta. Anàlogament passa amb les terceres preferències d’una butlleta respecte a les segones, etcètera.
La propietat (C) és bona perquè promou que l’elector no es limiti a indicar l’opció més preferida, sinó que indiqui també altres opcions menys preferides però encara més preferides que altres.
2. Una propietat desitjable que incompleix el vot únic transferible
Fins aquí tot bé. El problema és que hi ha una altra propietat que seria molt desitjable però falla. La propietat en qüestió seria la següent:
Propietat (D): Suposem que amb uns determinats vots resulta elegit el candidat a. Imaginem ara que alguns vots són modificats en el sentit d’afavorir aquest candidat. Més concretament, imaginem que afegim a a dalt de tot d’un vot que no estava encapçalat per a (sense cap altra modificació). És d’esperar que després d’un canvi d’aquest tipus encara resulti elegit el candidat a.
Doncs bé, aquesta propietat no la compleix pas el procediment de vot únic transferible. Per exemple, considerem els vots següents (exemple provinent de [4]) que només difereixen de (1) en dos electors que llavors votaven b > c > a i ara voten a > b > c, clarament a favor del candidat a que guanyava amb els vots (1):
Votació (2): 13 a > b > c, 8 b > c > a, 9 c > a > b.
Doncs bé, tot i així —abans guanyava a i ara els vots l’afavoreixen encara més—, resulta que ara a deixa de guanyar! En efecte, ara tampoc hi ha cap candidat amb una majoria absoluta de primeres posicions, però el que en té menys no és c, sinó b, que en ser eliminat transfereix vots a c, el qual assoleix 17 primeres posicions i resulta elegit.
Algú pot dir que una variació dels vots no és un escenari real: a la pràctica els vots no variaran entre dues possibilitats, sinó que seran uns o altres. Així doncs, el problema que estem apuntant seria una qüestió purament acadèmica. Tanmateix, el fet que amb els vots (1) guanyi el candidat a i que aquest deixi de guanyar amb els vots (2), que només difereixen de (1) a favor de a, porta a pensar que ha de se incorrecte un o altre dels dos resultats (o tots dos).
Algú altre potser digui que una situació com aquesta deu ser molt poc freqüent. En resposta a això, d’entrada cal dir que no és qüestió de ser més o menys freqüent, sinó una qüestió de principis; o sigui, que no hauria de passar absolutament mai. D’altra banda, el fet és que s’ha estimat que a la pràctica —més concretament en les eleccions irlandeses— aquesta inconsistència ha estat present amb una freqüència de l’1,5% [1] (vegi’s també [2]).
3. El teorema d’impossibilitat de Woodall
Certament seria desitjable un procediment que a més de les propietats (A)–(C) tingués també la propietat (D). Tanmateix, resulta que això és impossible! Aquest fet va ser demostrat el 1987 per Douglas Woodall [3] tot considerant uns escenaris concrets on suposar les quatre propietats (A)–(D) porta a contradicció. Posteriorment el mateix autor va millorar aquest resultat demostrant que ja és incompatible el conjunt més reduït (B)–(D) i que (D) es podia substituir per diverses variacions [5, teorema 3].
Per tant, qualsevol mètode basat en el vot preferencial ha de renunciar a alguna de les propietats (B)–(D). Tal com hem vist, el mètode del vot únic transferible renuncia a la propietat (D).
Potser seria més encertat mantenir aquesta propietat i renunciar a una altra? Dit això, (B) també sembla irrenunciable, ja que es refereix al principi de majoria. I (C) —que l’expressió de segones preferències no perjudiqui ni beneficiï les primeres preferències— també sembla molt desitjable en l’escenari que estem considerant del vot preferencial.
4. Elecció d’un representant mitjançant el vot d’aprovació
D’altra banda, estem suposant implícitament una altra propietat, a saber, que l’elector s’expressa en termes del vot preferencial, la qual cosa és la que obre la capsa de Pandora dels cicles de Condorcet, que en el fons estan al darrere dels problemes amb la propietat (D). Davant d’això, té sentit considerar la possibilitat de renunciar a expressar preferències detallades i conformar-se amb expressar només aprovacions (que es poden veure com unes preferències d’una forma especial: cadascun dels candidats aprovats és preferit a cadascun dels no aprovats, però no s’expressa cap preferència entre els diferents candidats aprovats ni entre els diferents candidats no aprovats).
En aquest escenari del vot d’aprovació, llavors resulta natural elegir el candidat que ha rebut més aprovacions. Aquest procediment compleix les següents propietats més o menys anàlogues a (A)–(D):
Propietat (A’): Si cada elector aprova un sol candidat, llavors resulta elegit el candidat més votat, com en el procediment clàssic de vot únic no transferible.
Propietat (B’): Si hi ha una majoria absoluta de vots que aproven exactament els mateixos candidats, llavors resulta elegit un d’aquests candidats.
En efecte, cadascun d’aquests candidats té una majoria absoluta d’aprovacions, les quals poden provenir també dels vots restants (els que no aproven exactament el conjunt en qüestió). En canvi, cap dels altres candidats no pot arribar a una majoria absoluta, ja que només apareix, en tot cas, en els vots restants, els quals són el complementari d’una majoria absoluta. Per tant, el candidat que té més aprovacions ha de ser un dels considerats.
Propietat (C’): L’addició d’aprovacions en un vot no perjudica el seu elector: Si abans resultava elegit un candidat que tenia la seva aprovació, ara també (però potser no sigui el mateix candidat).
Perquè l’única manera en què pot canviar el resultat és que ara el candidat més aprovat sigui un dels que han rebut aquesta aprovació addicional. Per tant, continua sent elegit un dels candidats aprovats per l’elector en qüestió.
És important notar la diferència entre (C) i (C’). En els dos casos s’està considerant l’addició de candidats en un vot. Però així com (C) es pregunta si això pot perjudicar (o beneficiar) un altre candidat present en aquell vot (en el sentit que aquest altre candidat deixés de ser elegit), (C’) es pregunta si pot perjudicar l’elector (en el sentit que ara no resultés elegit cap candidat de la seva aprovació). Aquesta distinció és important perquè el principal subjecte de drets en unes eleccions no són els candidats, sinó els electors.
Propietat (D’): Suposem que amb uns determinats vots resulta elegit el candidat a i que alguns d’aquests vots són modificats tot afegint aquest candidat al conjunt d’aprovats (sense cap altra modificació). Després de tal canvi també resulta elegit el candidat a.
En efecte, aquest candidat experimenta un augment del nombre d’aprovacions, mentre que els altres no. Per tant si aquest candidat era el que tenia més aprovacions, ara continuarà essent així.
5. A tall de conclusió
L’incompliment de la propietat (D) per part del vot únic transferible es pot veure com una inconsistència entre dos tipus d’afirmacions: (a) tal candidat és col·lectivament preferible a tots els altres; (b) tals vots afavoreixen col·lectivament tal candidat més que tals altres vots.
En el fons, aquesta inconsistència prové de la coneguda inconsistència entre afirmacions del tipus (c) tal candidat és col·lectivament preferible a tal altre (vegi’s per exemple l’entrada Decidir la llista electoral mitjançant una consulta).
En altres paraules, els problemes del vot únic transferible amb la propietat (D) tenen a veure amb la presència de cicles de Condorcet. Com en la votació (1), on passa que a guanya a b per 20 a 10 i b guanya a c per 21 a 9, però a no guanya a c, sinó que c guanya a a per 19 a 11. En la votació (2) es manté el mateix cicle però amb uns valors diferents que fan que el vot únic transferible elimini un candidat diferent i el resultat final sigui també diferent.
Tal com hem dit més amunt, un vot d’aprovació es pot veure com un vot preferencial d’una forma especial: cadascun dels candidats aprovats és preferit a cadascun dels no aprovats, però no s’expressa cap preferència entre els diferents candidats aprovats ni entre els diferents candidats no aprovats (o bé s’entèn que hi ha indiferència entre els diversos candidats aprovats i també entre els no aprovats).
Amb aquesta interpretació (i també amb la variant d’indiferència) es pot veure que el nombre d’electors que prefereixen a a b supera als que prefereixen b a a en la mateixa quantitat que el nombre d’electors que aproven a supera als que aproven b. I certament, si el nombre d’electors que aproven a supera als que aproven b i els que aproven b supera als que aproven c, llavors els que aproven a supera als que aproven c. O sigui, que no hi pot haver cicles de Condorcet.
A conseqüència d’això, tampoc hi ha inconsistències en relació amb la propietat (D): Un candidat és col·lectivament preferit a tots els altres si i només si és el que té més aprovacions. Per tant, si li afegim aprovacions llavors continuarà sent col·lectivament preferit a tots els altres.
Així doncs, el vot d’aprovació és preferible al vot únic transferible pel que fa a aquesta consistència (i també pel que fa a simplicitat). ❀
Referències
1. Michael Gallagher, 2013. Monotonicity and non-monotonicity at PR-STV elections.
2. David McCune, Adam Graham-Squire, 2024. Monotonicity anomalies in Scottish local government elections. Social Choice and Welfare, 63: 69–101.
3. Douglas R.Woodall 1987. An impossibility theorem for electoral systems. Discrete Mathematics, 66: 209–211.
4. Douglas R. Woodall, 1995. Monotonicity – An in-depth study of one example. Voting Matters, issue 4, paper 5.
5. Douglas R. Woodall 1997. Monotonicity of single-seat preferential election rules. Discrete Applied Mathematics, 77: 81–98.