Thomas Wright Hill (1763-1851).
El 1819 proposava una primera versió del que ara coneixem com a mètode del vot únic transferible.

Com es vota?

El mètode del vot únic transferible utilitza el vot preferencial: cada elector indica no només el seu candidat preferit, sinó que també pot donar una segona opció, una tercera, i així successivament fins on cregui oportú. En principi, cal interpretar que l’elector només admet ser representat pels candidats que inclou en el seu vot, i que a més els prefereix l’un a l’altre en l’ordre que indica. Més que un vot preferencial, es tracta, doncs, d’un vot d’aprovació amb preferències. Dit això, en alguns llocs es requereix a l’elector que inclogui un cert nombre mínim de candidats (típicament, tants com escons a repartir) i en altres llocs se’l requereix que ordeni tots els candidats. Òbviament, en aquests casos no es pot entendre que l’elector aprova tots els candidats que apareixen en la seva llista.

Com es processen els vots?

Per a determinar quins candidats són elegits, es comença per fixar una quota, és a dir, el nombre de vots que ha de superar un candidat per tal de resultar elegit. En principi, cada candidat té només els vots on apareix com a primera opció. Tanmateix, quan un candidat supera la quota i resulta elegit, cadascun dels vots sobrants és transferit al candidat que ocupa el següent lloc en la butlleta. La idea és aplicar aquest procés reiteradament fins que quedin assignats tots els escons que hi havia a repartir. Si en algun moment s’escau que no hi ha cap candidat que assoleixi la quota, aleshores s’elimina el que en aquell moment té menys vots i cadascun d’aquests vots és transferit al candidat següent en la butlleta. I si només resten en peu tants candidats com escons pendents de repartir, llavors s’admeten tots aquests candidats, siguin quins siguin els seus nombres de vots.

Exemple 1

Considerem els següents 600 vots sobre quatre candidats, a, b, c, d:

270 a > c
180 b
100 c
50 d > c

on s’ha d’entendre que hi ha 270 electors que donen com a primera opció el candidat a i com a segona opció el candidat c, uns altres 180 electors es pronuncien només pel candidat b, etcètera. A continuació suposarem que es volen assignar només 2 escons. Aquest nombre és massa petit des del punt de vista de la representació proporcional, però serà suficient per a il·lustrar el procediment sense complicar massa les coses.

Comencem per il·lustrar el procediment suposant fixada la quota. Suposem que és de 250 vots per escó. Examinant les primeres opcions, veiem que a s’enduu un escó i li sobren 20 vots, els quals són transferits a c. En aquest moment, b, c i d tenen respectivament 180, 120 i 50 vots. Com que cap d’ells supera la quota, s’elimina el que en té menys, a saber d. Els seus vots passen a c, que d’aquesta manera acumula 170 vots. Novament, toca eliminar el candidat que té menys vots, que és c. Però ara ens trobem que aquests vots no poden ser transferits, ja que les butlletes corresponents no especifiquen cap altra opció. D’altra banda, amb l’eliminació de c només resta en peu el candidat b, de manera que correspon quedar-se amb ell per arribar als dos escons que volíem assignar. En total, resulten elegits, doncs, els candidats a i b.

Quina quota?

Noti’s que en l’últim pas del procediment precedent la quota ha quedat rebaixada a 180 vots. Tenint això en compte, es pot dir que el resultat obtingut és injust, perquè aplicant aquesta quota des del principi també mereix ser escollit el candidat c (en virtut dels vots que li són transferits en ser elegit a). Així doncs, l’elecció de la quota inicial és un element crucial. D’altra banda, segons el que hem vist seria convenient que la quota es mantingués invariable fins completar tot el procés.

Atenent al concepte de proporcionalitat, en principi correspon prendre com a quota el quocient del nombre total de vots pel nombre d’escons. Aquest valor rep el nom de quota de Hare. Tanmateix, amb aquesta quota és pràcticament impossible que s’arribin a assignar tots els escons sense una rebaixa final. Això només pot passar en casos molt singulars on tenen lloc certs empats. En l’exemple precedent, la quota de Hare val 600/2 = 300 vots per escó, el qual valor no és superat per cap candidat en cap moment de tot el procés, de manera que finalment s’elegeixen els dos candidats que es resisteixen més a ser eliminats, que són a i b (amb una quota efectiva final de 180 vots per escó).

D’altra banda, si la quota inicial és massa petita, llavors ens veiem conduïts a assignar més escons del compte. Així ocorre en l’exemple precedent si prenem una quota de 175 vots per escó. Per garantir que no ens trobarem en aquest cas (siguin com siguin els vots) cal que la quota sigui superior o igual a l’anomenada quota de Droop, la qual s’obté dividint el nombre total de vots pel nombre d’escons augmentat en una unitat. Aquest fet fa molt natural i habitual adoptar aquesta quota.

Dit això, si els electors no especifiquen suficients alternatives, la quota de Droop encara pot ser massa gran per a determinar tots els escons sense una rebaixa final. En particular, si els electors es limiten a indicar un sol candidat (cada elector el seu) llavors els vots no són transferibles, i sigui quina sigui la quota, el procediment que estem considerant acaba elegint els candidats més votats, fins a completar el nombre desitjat. De tota manera, si l’elector troba admissibles diversos candidats, llavors tendirà a incloure tots aquests candidats en la seva llista de preferències, ja que d’aquesta manera té més possibilitats que sigui elegit un candidat del seu gust.

És interessant observar que en el cas extrem de voler elegir un sol representant, la quota de Hare correspon a la noció d’unanimitat (que efectivament és un cas molt singular) mentre que la quota de Droop correspon a la noció de majoria absoluta (que efectivament no pot ser satisfeta per més d’un candidat, i possiblement no sigui satisfeta per cap d’ells).

D’acord amb la pràctica més generalitzada, mentre no diguem el contrari suposarem que s’ha pres com a quota inicial la quota de Droop o en tot cas el primer enter superior a ella.

On està la proporcionalitat?

En la seva versió més tradicional, que s’usa per exemple en les eleccions als parlaments d’Irlanda i de Malta, les transferències de vot entre candidats es fan materialment, transportant les butlletes d’un lloc a un altre. Això posa de manifest que cada diputat dóna representació a un conjunt determinat d’electors: els emissors de les butlletes que han causat la seva elecció. Si el procediment s’ha pogut dur a terme sense cap rebaixa de la quota, llavors cada diputat representa el mateix nombre d’electors, la qual cosa està certament en la línia del principi de representació proporcional. Tanmateix, inclús en el supòsit de no haver rebaixat la quota, cal tenir en compte que en multiplicar el nombre de diputats pel nombre d’electors que representa cadascun d’ells, a saber, la quota de Droop, no s’obtenen pas tots electors, sinó que manca un altre conjunt igualment nombrós d’electors, els quals resten sense representació, ja que les seves butlletes no són utilitzades. Així doncs, inclús en aquest cas, la proporcionalitat és només aproximada (amb una aproximació cada vegada millor a mida que augmenta el nombre d’escons). Per suposat, si té lloc una rebaixa final de la quota, llavors ens allunyem encara més de la proporcionalitat.

Davant d’això, són naturals certes modificacions que van en la direcció de millorar la proporcionalitat, o en altres paraules, disminuir les diferències en la quantitat de representació que obtenen els diferents electors. La quantitat de representació que obté un elector vol dir simplement la fracció de diputats que li correspon (la qual podem identificar amb el pes d’aquell elector en el parlament). Així, si els vots són simplement 100 vots per a i 200 per b i volem assignar només 2 escons, llavors el procediment que hem estat considerant es basaria en una quota de Droop de 100 i assignaria un escó a a, el qual quedaria repartit entre 100 electors, un altre a b, que també quedaria repartit entre 100 electors, i en principi, els altres 100 electors que també havien votat b es quedarien sense representació. Així doncs, tindríem 200 electors amb una representació de 1/100 (diputats per elector) i uns altres 100 electors amb una representació de 0.

En lloc d’això, és més equitatiu utilitzar totes les butlletes i repartir el candidat b entre tots els electors que l’han votat, la qual cosa resulta en 100 electors amb una representació de 1/100 i 200 electors amb una representació de 1/200. La qüestió és ben bé anàloga al repartiment de la riquesa, on tothom està d’acord que si estem repartint dues unitats de riquesa entre 3 persones, el repartiment (1, 1/2, 1/2) és més equitatiu que (1, 1, 0).

En el mateix esperit de tractar per igual tots els electors, també és natural que en lloc de transferir butlletes senceres, unes sí i les altres no, es transfereixi una mateixa fracció de cada butlleta. Així, en l’exemple 1, correspon dividir cadascuna de les butlletes a > c en dues fraccions; una fracció de mida 200/270 s’assigna al candidat a, i la resta, de mida 70/270, es transfereix a c. La quantitat total de vots transferits segueix sent la mateixa que abans, 270 × (70/270) = 70, però ara estem tractant tots els electors de la mateixa manera. Similarment, i en la mateixa línia que al paràgraf precedent, en el moment d’assignar el segon escó a c, aquest es reparteix uniformement entre els 220 vots que s’han acumulat a favor seu, és a dir, a raó de 1/220 d’escó per vot. Ara bé, com que 70 d’aquests vots ja estan repartits uniformement entre els 270 electors que han votat a > c, a cadascun d’aquests electors li correspon (70/270) × (1/220) d’aquest escó. En total, a cadascun dels 270 electors que ha votat a > c li correspon (1/270) a + (70/270) × (1/220) c, a cadascun dels altres 150 electors que han inclòs c en el seu vot li correspon (1/220) c, i els 180 electors que han votat per b es queden sense representació.

A banda de ser més equitativa, aquesta manera de fer evita que el conjunt de candidats elegits pugui dependre de quines butlletes són transferides, com passa, per exemple, si la meitat dels 270 vots a > c de l’exemple 1 canvien a a > b. Amb la pràctica més tradicional de transferir butlletes senceres, el segon escó pot ser assignat a b o a c en funció de quines butlletes concretes són transferides. En canvi, el tractament equitatiu determina que el segon escó ha de ser assignat a b.

El procediment encara es pot complicar bastant més amb motiu d’altres casuístiques en les quals ja no entrarem i per les quals referim el lector al capítol 15 del llibre de N. Tideman (2006) Collective Decisions and Voting. Com a exemple de la utilització d’aquests procediments més sofisticats podem citar el Senat d’Austràlia i el Council de la Royal Statistical Society, que des de 1984 usen mètodes d’aquest tipus per a elegir els seus membres. En qualsevol cas, el que importa no és la complexitat del procediment —que queda a càrrec dels ordinadors— sinó la seva lògica i les seves propietats.

En relació amb tot això, els raonaments precedents en cerca de la proporcionalitat estan donant per suposat que l’elector se sent igualment representat per qualsevol dels candidats que inclou en el seu vot. Aquesta hipòtesi és molt discutible. I sense ella no està gens clar com s’ha d’entendre la noció de proporcionalitat en presència de preferències.

Casos especials

Suposem que els vots són ben bé com en el cas de llistes tancades. És a dir, que hi ha unes llistes ordenades, cadascuna d’elles incloent tants candidats com escons, de manera que cada candidat pertany a una i només una d’aquestes llistes i el vot de cada elector coincideix exactament amb una d’elles. En aquest escenari, és obvi que en aplicar el mètode de vot únic transferible els vots transferits romanen en la mateixa llista. Per tant, si el nombre de vots d’una llista supera la quota, aleshores la llista en qüestió rebrà, com a mínim, tants escons com vegades càpiga la quota dins del nombre de vots. D’altra banda, si això no esgota tots els escons, llavors les eliminacions subseqüents també s’estendran al llarg de cada llista, i finalment els escons pendents seran assignats a les llistes de restes més grans. O sigui, que en aquest cas l’aplicació del mètode de vot únic transferible equival a la regla de les restes majors (vegi’s Repartir escons “proporcionalment”), amb l’única salvetat que aquí no utilitzem necessàriament la quota de Hare, sinó la que s’hagi especificat. De tota manera, cal que la quota sigui igual o superior a la de Droop, ja que altrament estaríem assignant més escons del compte.

Considerem ara una situació similar a l’anterior però amb la diferència que les llistes en qüestió són tancades com a conjunts, és a dir des del punt de vista de quins candidats inclouen, però no pel que fa a l’ordre de preferència, que depèn de cada elector. En aquest cas també és cert que cada llista (com a conjunt) rebrà, com a mínim, tants escons com vegades càpiga la quota dins del nombre de vots obtinguts.

Més generalment, es compleix el fet següent: Suposem que un cert nombre x d’electors encapçalen la seva llista amb el mateix conjunt de candidats, encara que no estiguin en el mateix ordre i que després el vot pugui contenir altres candidats. Doncs bé, si la quota és igual o superior a la Droop, llavors està garantit que d’aquest conjunt de candidats en resultaran elegits tants com digui el quocient de x per la quota (en el benentès que si aquest quocient supera el nombre de candidats del conjunt, llavors resulten elegits tots ells).

Aquesta propietat rep el nom de criteri de proporcionalitat de Droop. Efectivament, té molt a veure amb la noció de proporcionalitat. Tanmateix, no acaba de ser totalment satisfactori: D’una banda, la condició que els vots estiguin encapçalats exactament per un mateix conjunt deixa fora molts casos d’interès; d’altra banda, el nombre de candidats elegits queda limitat inferiorment però no superiorment, de manera que en general resta oberta la possibilitat que un conjunt de candidats rebi més escons del compte.

En l’extrem oposat al vot únic transferible hi ha el vot uninominal. És a dir, el cas en que cada elector es limités a indicar un sol candidat. No costa gaire de convèncer-se que en aquest cas els escons resulten assignats exactament als candidats més votats.

Un altre cas extrem digne de consideració (però totalment allunyat de la representació proporcional) és el cas de voler elegir un sol representant (com per exemple un president). En aquest cas la quota de Droop correspon a la majoria absoluta i el mètode de vot únic transferible es redueix a l’eliminació successiva del candidat menys votat fins arribar a un candidat que reuneixi una majoria absoluta. Aquest procediment també es coneix pels noms de vot alternatiu i instant-runoff voting (i no s’ha de confondre amb anar directament a una segona volta entre les dues opcions més votades, que pot donar un resultat diferent i rep el nom de vot contingent).

Un problema greu

Però el principal problema del vot únic transferible no és la proporcionalitat, sinó un altre, el qual il·lustrarem mitjançant un exemple. Suposem novament que volem 2 diputats i imaginem que tenim els 102 vots següents:

42 a > b
19 b
20 c > b
2 d > b
19 d > c

La quota de Droop és igual a 102 / (2+1) = 34 vots per escó. Examinant les primeres opcions, veiem que a s’enduu un escó i li sobren 8 vots, els quals són transferits a b. En aquest moment, b, c i d tenen respectivament 27, 20 i 21 vots. Com que cap d’ells supera la quota de Droop, s’elimina el que en té menys, a saber c. Els seus vots passen a b, que d’aquesta manera supera la quota i obté el segon escó. Així doncs, resulten elegits els candidats a i b.

Imaginem ara que la votació és objecte d’una reclamació i que es descobreix que els 2 vots d > b s’havien llegit malament i que en realitat deien b > d. Com que el canvi afavoreix b, que ja havia resultat elegit, tothom espera que ara continuï resultant elegit aquest candidat. Però no és així! Com comprovarà fàcilment el lector, ara no resulta eliminat c, sinó d, i això comporta que el segon escó vagi a parar a c en lloc de b! O sigui, que un candidat pot deixar de ser elegit a conseqüència de que alguns electors l’hagin desplaçat a posicions més preferents! En altres paraules, el mètode de vot únic transferible viola una condició molt desitjable de consistència ordinal.

És natural preguntar-se amb quina freqüència es pot donar a la pràctica aquesta anomalia. Això és difícil de saber, perquè l’escrutini no s’entreté en veure què passaria si els vots variessin a favor d’un o altre candidat. Tanmateix, examinant els resultats de les eleccions és possible detectar casos on hi ha raons per creure que ha estat present aquest fenomen. Mitjançant un mètode d’aquest tipus s’ha estimat que en les eleccions irlandeses des de 1922 fins a 2011 ha ocorregut amb una freqüència de l’ordre de l’1.5% (Gallagher 2013).

Alguns poden dir que no hi ha cap problema, ja que en unes eleccions importen només els vots emesos i no les seves possibles variacions. Tanmateix, aquesta anomalia indica que els resultats del vot únic transferible no són sempre correctes. Si més no, davant d’un cas concret d’aquest tipus és bastant clar que algun dels dos resultats, abans o després de la modificació, ha de ser incorrecte (o potser tots dos!).