Ars Electionis

En unes eleccions parlamentàries habitualment tenim el territori repartit en circumscripcions i en cada una d’elles s’hi presenten diversos partits.

Suposem que cada votant tria un partit. A partir dels vots emesos es tracta de formar un parlament que tingui en compte els dos principis següents:

1. Proporcionalitat:  cada partit ha d’estar present al parlament en la mateixa proporció en què ha estat votat a tot el territori.
2. Representació del territori:  el parlament ha de representar adequadament les diferents realitats territorials.

El sistema biproporcional aconsegueix satisfer força bé aquest doble objectiu. Com veurem, l’assignació d’escons a cada partit dins de cada circumscripció s’ajusta per tal de servir a la vegada a la proporcionalitat entre partits a nivell global i a un repartiment territorial predefinit. A canvi d’aquest doble objectiu, es permet que disminueixi la proporcionalitat entre partits dins de cada circumscripció.

Aquest sistema va ser ideat el 1989 per Michel Balinski i Gabrielle Demange. L’any 2006 va ser adoptat oficialment pel cantó suís de Zürich, que fins llavors usava un procediment molt similar al que usem actualment a Espanya i a Catalunya. El motiu pel que van canviar de sistema és perquè algunes de les cicumscripcions eren relativament petites –4 escons– mentre que el vot estava força repartit entre molts partits –9 partits–. Òbviament, en aquestes condicions és impossible aconseguir cap mena de proporcionalitat dins de la circumscripció en qüestió. La solució la va proporcionar el matemàtic Friedrich Pukelsheim, que va mostrar la possibilitat d’aplicar el mètode biproporcional. Posteriorment, aquest mètode ha estat adoptat per sis cantons més, concretament Schaffhausen (2008), Aargau (2008), Nidwalden (2013), Zug (2013), Schwyz (2015) i Valais (2016).

A continuació en veurem el funcionament a partir d’un exemple concret, basat en les eleccions al parlament català del setembre de 2015 i en el cens de població del 2015.

 

Decisions prèvies, independents del mètode biproporcional

 

1. Mida del parlament

Seguint una tònica bastant estesa, suposarem una relació de 50.000 habitants per escó, la qual cosa correspon aproximadament a 150 escons. Per tal d’evitar empats considerarem un parlament amb 151 escons.

 

2. Divisió en circumscripcions

Cal reflectir adequadament el territori. Això es pot concretar de moltes maneres. Per fer l’exemple, nosaltres prendrem com a circumscripcions les vegueries o àmbits funcionals territorials, definits per la llei del 1995 amb la seva modificació del 2010, però l’àmbit metropolità de Barcelona el subdividirem en tres circumscripcions: Barcelonès, Baix Llobregat, Vallès-Maresme.

 

3. Quants escons assignem a cada circumscripció

Aquí tant es pot buscar la proporcionalitat entre escons i població, com discriminar positivament les circumscripcions menys poblades i assigna’ls-hi més escons dels que els correspondrien segons la població.

En el nostre exemple assignarem els escons en proporció (aproximada) a la població. Més concretament, utilitzarem la regla d’Adams. Les següents dades de població corresponen al cens de 2015:

La columna “quocient” dóna el resultat de dividir la població per un divisor d’Adams, en aquest cas 51500. Per a cada circumscripció hem fet el quocient entre la població i el divisor (tercera columna) i el resultat l’hem arrodonit per excés (quarta columna). El valor 51500 ha estat escollit per tal que el total d’escons sigui 151.

Fixem-nos que obtenim dues circumscripcions realment petites (alguns experts consideren massa petita una circumscripció on el nombre d’escons sigui inferior a dues vegades el nombre de partits). Tanmateix, com veurem, no és tan greu en el cas del mètode biproporcional.

 

Recompte de vots a partits en cada circumscripció

Els resutats de la votació figuren a la taula següent (font: Generalitat de Catalunya, Resultats electorals), on omitim, d’una banda, els vots que no determinen escons (vots en blanc i vots a candidatures que no van superar la barrera del 3%), i d’altra banda, els dels residents a l’estranger, dels quals no hem trobat dades que detallin la seva distribució territorial.

 

Repartiment global d’escons entre partits

En aquest moment treballem com si tinguéssim una sola circumscripció. Sumem els vots de cada partit i apliquem una regla d’assignació proporcional, com ara D’Hondt o Sainte-Laguë. En aquests cas, ho farem amb la regla de D’Hondt. La suma dels vots de cada partit és:

Amb el divisor de D’Hondt D = 25535 s’obté el repartiment global d’escons:

A partir d’ara respectarem sempre aquests resultats.

 

Objectiu

A continuació volem repartir els 151 escons de manera el més proporcional possible als vots obtinguts per cada partit a cada circumscripció amb les restriccions addicionals següents:

• Cada partit ha de rebre en total el nombre d’escons que li hem assignat en el repartiment global (taula 4).
• S’ha de respectar el nombre total d’escons de cada circumscripció, tal com s’ha establert abans de la votació (taula 1).

Es tracta, doncs, d’omplir la taula següent de la manera “més proporcional possible” a la taula 2 (en un sentit tècnic).

 

Un primer intent (natural però fallit)

Si dividim els vots que ha obtingut cada partit a cada circumscripció pel divisor, D = 25535, que hem utilitzat per fer l’assignació global a partits i després agafem la part entera, no aconseguim satisfer les restriccions (ni tampoc amb qualsevol altre divisor):

 

El procediment

En general no hi ha cap divisor D tal que quan dividim els resultats per D i agafem la part entera resolem l’assignació pendent de la taula 5.

El mètode biproporcional considera més divisors, concretament, un divisor per cada fila i un divisor per cada columna. Aquests divisors han de complir que, en dividir cada casella de la taula de resultats (taula 2) pel divisor de la fila i pel divisor de la columna corresponents i agafar la part entera, aleshores les sumes de files i columnes són les prefixades.

Les matemàtiques ens asseguren que es poden trobar aquests divisors que resolen l’assignació del mètode biproporcional i que a més, mitjançant aquest mètode, només n’hi ha una d’assignació possible (llevat d’empats, molt poc probables).

A la propera taula recollim el resultat d’aquesta operació i els divisors de files i de columnes que resolen el problema:

L’assignació definitiva d’escons s’obté agafant parts enteres a la taula anterior:

Com es pot veure, aquesta assignació compleix les dues condicions que ens havíem imposat, és a dir, que concorda tant amb l’assignació global d’escons a partits com amb la distribució d’escons entre circumscripcions.

En particular, la distribució global dels escons entre partits no depèn per a res de com es dissenyi la divisió territorial en circumscripcions. ❀

---

Referència

1. F. Pukelsheim, 2014. Proportional Representation. Springer Verlag. Capítol 14. (2a edició en preparació)

2. A. López, V. Ramírez, B. Delgado, 2014. Una propuesta de sistema electoral para Cataluña: reparto biproporcional. Política y Sociedad 51: 841–862.

---