La formació d’un parlament després d’unes eleccions mitjançant llistes tancades consisteix bàsicament en repartir els escons d’una manera el més proporcional possible als vots aconseguits per cada candidatura. Similarment ocorre a l’hora de decidir quants escons s’assignen a cada circumscripció electoral; en aquest cas, convé que el nombre d’escons sigui el més proporcional possible a la població. A continuació explicarem diferents mètodes per repartir escons d’una manera el més proporcional possible a unes quantitats donades.

Per centrar idees, treballarem amb un exemple concret. Suposarem una sola circumscripció on hem d’assignar 6 escons i on 1290 electors han repartit els seus vots entre quatre candidatures de la manera següent:

candidatura 1 candidatura 2 candidatura 3 candidatura 4
vots 460 400 300 130

Primera aproximació: Com que s’han emès 1290 vots i volem assignar 6 escons, toca a 1290/6 = 215 vots per escó. Aquesta quantitat la podem veure com el preu mitjà d’un escó:

[katex display=true]\hbox{preu mitj\`a d’un esc\’o} = \frac{\hbox{nombre de vots}}{\hbox{nombre d’escons}}=\frac{\hbox{1290 vots}}{\hbox{6 escons}}= 215\,\hbox{vots}\,/\,\hbox{esc\’o}.[/katex]

Per calcular quants escons corresponen a cada candidatura, dividim els seus vots pel preu d’un escó:

candidatura 1 candidatura 2 candidatura 3 candidatura 4
vots / preu escó 460 / 215 = 2.14 400 / 215 = 1.86 300 / 215 = 1.40 130 / 215 = 0.60

Com que els escons es consideren unitats indivisibles, seria raonable assignar, respectivament: 2, 1, 1, 0 escons. Però d’aquesta manera no arribem als 6 que volem assignar. Què podem fer? Una idea prou natural i molt fàcil d’aplicar és l’anomenada regla de les Restes Majors:

Dividim els vots de cada candidatura pel preu mitjà d’un escó (és a dir, el total de vots emesos dividit pel total d’escons a repartir). Primer assignem a cada partit tants escons com la part entera d’aquest quocient. Els escons que faltin per repartir els anem assignant, per ordre, a les candidatures que tinguin una part decimal més alta.

Aquí les restes són: 0.14, 0.86, 0.40, 0.60. La candidatura amb la resta més gran és la segona (0.86) i la següent és la quarta (0.60). Per tant els dos escons que falten són assignats a les candidatures 2 i 4. El repartiment d’escons segons la regla de les Restes Majors seria, doncs:

candidatura 1 candidatura 2 candidatura 3 candidatura 4
escons Restes Majors 2 2 1 1

Fixem-nos que en general el problema és que volem aproximar amb uns números enters petits (escons) la proporcionalitat d’uns números enters grans (vots). Ho fem com ho fem, ens desviarem de la proporció exacta. Aquí és on entren les diferents regles de repartiment. A banda de la regla de les Restes Majors n’hi ha d’altres. Cada una d’elles s’acosta tot el que pot a la proporcionalitat, però segons un criteri que varia d’una regla a l’altra.

Els mètodes que explicarem a continuació es preocupen d’assignar els escons de manera que les quantitats de representació que obtenen els electors siguin el menys desiguals possible. La quantitat de representació que obté un elector depèn de la candidatura que hagi votat i dels escons que aquesta hagi rebut:

[katex display=true]\hbox{representaci\’o d’un elector}=\frac{\hbox{escons rebuts candidatura}}{\hbox{vots rebuts candidatura}}=\frac{\hbox{1}}{\hbox{preu d’un esc\’o}}[/katex]

La regla de D’Hondt segueix el criteri següent:

Els escons es reparteixen entre els partits de manera que el preu més baix d’un escó sigui el més gran possible (equivalentment, de manera que la representació més gran d’un elector sigui el més petita possible).

Si comencem amb l’exemple anterior, observem que el preu mitjà d’un escó, el que hem calculat de 215 vots per escó, no permet repartir els 6 escons sinó només 4 (el repartiment és 2, 1, 1, 0). En aquest moment, la candidatura que menys paga és la primera, que paga 460 / 2 = 230. Si el cinquè escó l’assignem a la candidatura 1, pagaria 460 / 3 = 153.3, si l’assignem a 2, pagaria 400 / 2 = 200, la candidatura 3 pagaria 300 / 2 = 150 i la 4 pagaria 130. Per tant, en l’esperit de la regla, el cinquè escó va a la candidatura 2. El sisè anirà a la candidatura 1, que pagarà 460 / 3 = 153.3, de manera que el repartiment de D’Hondt és

candidatura 1 candidatura 2 candidatura 3 candidatura 4
escons D’Hondt 3 2 1 0
vots / 153.3 3 2.6 1.96 0.8

A la taula anterior hem inclòs la divisió dels vots de cada candidatura per un nou preu global que hem trobat adient, a saber, 153.3 vots per escó. Aquest valor, anomenat divisor de la regla de D’Hondt, compleix la següent propietat:

Els escons que assignem a un partit s’obtenen dividint els seus vots entre el divisor i agafant la part entera del resultat (la part entera d’un número es té esborrant els seus decimals).

L’assignació d’escons segons la regla de D’Hondt es pot fer amb l’algorisme, prou conegut, consistent en construir una taula amb els números que resulten de dividir els vots dels diferents partits per 1, 2, 3, 4, 5, … i anar assignant escons per ordre de magnitud d’aquests números. El divisor de la regla D’Hondt és el números associat al darrer escó (cal observar que no és l’únic divisor).

candidatura 1 candidatura 2 candidatura 3 candidatura 4
460 / 1 = 460 400 / 1 = 400 300 / 1 = 300 130 / 1 = 130
460 / 2 = 230 400 / 2 = 200 300 / 2 = 150 130 / 2 = 65
460 / 3 = 153.3 400 / 3 = 133.3 300 / 3 = 100 130 / 3 = 43.3
460 / 4 = 115 400 / 4 = 100 300 / 4 = 75 130 / 4 = 26

La regla de Sainte-Laguë minimitza les diferències entre electors en un altre sentit, el de mínims quadrats (més detalls).

Aquí ja no és tan clar com procedir, però resulta que el criteri de mínims quadrats equival a trobar un divisor que compleixi la condició següent: els números d’escons que s’obtenen en dividir els vots de cada partit pel divisor i arrodonir el resultat a l’enter més proper compleixen la condició que la seva suma és igual al total d’escons a repartir (més detalls).

El divisor es pot trobar a ull o bé amb un algorisme semblant al de D’Hondt, que també serveix per assignar els escons. Dividim els vots per 0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5, etc. (a la pràctica se sol dividir per 1, 3, 5, 7, 9, 11, etc., que és equivalent)

candidatura 1 candidatura 2 candidatura 3 candidatura 4
460 / 0.5 = 920 400 / 0.5 = 800 300 / 0.5 = 600 130 / 0.5 = 260
460 / 1.5 = 306.7 400 / 1.5 = 266.7 300 / 1.5 = 200 130 / 1.5 = 86.7
460 / 2.5 = 184 400 / 2.5 = 160 300 / 2.5 = 120 130 / 2.5 = 52
460 / 3.5 = 131.4 400 / 3.5 = 114.3 300 / 3.5 = 85.7 130 / 3.5 = 37.1

Anem assignant escons primer al número més gran de la taula, després al següent, etc. El divisor de la regla de Sainte-Laguë és el número associat al darrer escó, en aquest cas 260. Utilitzant aquest divisor i arrodonint a l’enter més proper obtenim el número d’escons de cada partit (enllaç al perquè).

candidatura 1 candidatura 2 candidatura 3 candidatura 4
escons Sainte-Laguë 2 2 1 1
vots / 260 1.77 1.54 1.15 0.5

En lloc d’arrodonir a l’enter més proper, com fa la regla de Sainte-Laguë, o arrodonir per defecte, com fa la regla de D’Hondt, també es pot considerar la possibilitat d’arrodonir per excés, que és el que fa la regla d’Adams. En aquest cas serveix com a divisor el valor 400, o qualsevol número lleugerament inferior, com ara 399. En dividir els vots de cada partit per aquest valor i arrodonir per excés obtenim, respectivament, 2, 2, 1, 1 escons, que efectivament sumen els 6 que hi ha per repartir. En aquest cas el resultat coincideix amb el de Sainte-Laguë, però en altres casos no seria així.

Noti’s que segons la regla d’Adams, qualsevol partit que tingui almenys un vot hauria de rebre almenys un escó (suposant que hi ha més escons que partits). En efecte, sigui quin sigui el divisor, sempre que hi hagi almenys un vot el quocient serà positiu i el seu arrodoniment per excés serà almenys 1. Aquesta particularitat no és gaire adient en el context de repartir escons entre partits, però en el repartiment d’escons entre circumscripcions en funció de la població és prou apropiada.

On s’utilitzen les regles de D’Hondt i Sainte-Laguë?

La regla de D’Hondt s’utilitza majoritàriament en països que trien el seu parlament mitjançant un mètode proporcional amb llistes de partits (obertes o tancades), per exemple a Bèlgica, Espanya, Finlàndia, Holanda, Israel, Polònia, Portugal, o Suïssa, així com la majoria de països llatinoamericans. Altres països apliquen aquesta regla per triar una part del parlament, com Dinamarca i Japó.

La regla de Sainte-Laguë és molt menys utilitzada, l’apliquen Alemanya, Noruega i Suècia (aquests dos últims, una versió lleugerament modificada); i parcialement, Nova Zelanda i Dinamarca. ❀