Aquesta pàgina conté aclariments tècnics i desenvolupaments complementaris de l’entrada Repartir escons “proporcionalment”.

Aproximacions a la proporcionalitat en el repartiment d’escons.

El problema consisteix en com assignar [katex]n[/katex] escons a candidatures (circumscripcions) a partir de [katex]w[/katex] vots (la seva població).

Suposem que cada candidatura [katex]i[/katex] ha rebut [katex]w_i[/katex] vots i que en el repartiment li assignem [katex]n_i[/katex] escons, que compleixen

[katex display=true]n_1+n_2+\dots =n.[/katex]

[katex display=true]w_1+w_2+\dots =w.[/katex]

L’ideal seria que els [katex]n[/katex] escons es repartissin de manera del tot proporcional, és a dir, que cada elector tingués representació [katex]n/w[/katex] (podem veure-ho com que repartim trocets d’escó a parts iguals).

  • Els votants de la candidatura [katex]i[/katex] tenen representació [katex]{n_i}/{w_i}[/katex]. Dir que tots els votants tinguin la mateixa representació, independentment del partit que hagin votat és:

    [katex display=true]\frac n w =\frac{n_1}{w_1}=\frac{n_2}{w_2}=\dots[/katex]

Si això no és possible, cal que les diferències entre electors siguin mínimes. En quin sentit?

  • La regla de d’Hondt té el criteri de procurar que la representació més alta, entre les diverses representacions que tenen els electors, sigui el més petita possible (no es preocupa, per exemple, de la representació més baixa). És a dir, es busquen nombres d’escons [katex]n_i[/katex] que facin mínima la quantitat:

    [katex display=true]\max\frac{n_i}{w_i}[/katex]

    Observem que resulta equivalent assignar els escons amb el criteri que hem explicat a Repartir escons “proporcionalment”, de maximitzar el preu mínim que paguen els partits per escó, és a dir maximitzar

    [katex display=true]\min\frac{w_i}{n_i}.[/katex]

  • La regla de Sainte-Laguë, en canvi, sí que es preocupa de que siguin el més petites possible les diferències de representació que tenen els electors entre si; concretament, que la variància de les representacions sigui mínima. Es busquen, per tant, escons [katex]n_i[/katex] que facin mínima

    [katex display=true]\sum_{i} w_i \left(\frac{n_i}{w_i}-\frac{n}{w}\right)^2.[/katex]

    Veurem més endavant que, equivalentment, la regla de Sainte-Laguë minimitza la suma de les diferències de representació entre els electors al quadrat.

  • La regla d’Adams procura que sigui màxima la representació mínima dels electors. Se sol utilitzar més aviat per assignar escons a circumscripcions segons població. La regla distribueix escons [katex]n_i[/katex] de manera que sigui màxima la quantitat:

    [katex display=true]\min\frac{n_i}{w_i}.[/katex]

    Si s’utilitza per assignar escons a candidatures a partir dels vots que han rebut, la regla d’Adams procura que tots els partits que han rebut almenys un vot tinguin un escó com a mínim, i ho fa sempre que no hi hagi més partits votats que escons. En cas que no sigui així, s’assigna un escó als [katex]n[/katex] partits més votats.

La regla de Sainte-Laguë, procediment d’assignació d’escons.

Anem ara a justificar que l’algorisme que hem explicat a l’entrada de repartiment proporcional dóna una assignació d’escons [katex]n_i[/katex] que minimitza la quantitat:

[katex display=true]h=\sum_{i} w_i \left(\frac{n_i}{w_i}-\frac{n}{w}\right)^2.[/katex]

– Es pot demostrar que minimitzar [katex]h[/katex] equival a minimitzar qualsevol de les expressions següents:

[katex display=true]f=\sum_{i,j} w_i w_j\left(\frac{n_i}{w_i}-\frac{n_j}{w_j}\right)^2,\qquad\qquad g=\sum_{i} \frac{n_i^2}{w_i}.[/katex]

Això és degut a que la variància de la variable que pren valors [katex]\frac{n_i}{w_i}[/katex] és

[katex display=true]\frac 1 {w}\sum_{i} w_i \left(\frac{n_i}{w_i}-\frac{n}{w}\right)^2=\left(\frac{1}{w}\sum_i w_i \frac{n_i^2}{w_i^2} \right)- \frac{n^2}{w^2}[/katex]

i que per altra banda

[katex display=true]\frac 1 {2w^2} \sum_{i,j} w_i w_j\left(\frac{n_i}{w_i}-\frac{n_j}{w_j}\right)^2= \left(\frac{1}{w}\sum_i w_i \frac{n_i^2}{w_i^2} \right)- \frac{n^2}{w^2}.[/katex]

El que interessa, doncs, és mirar de minimitzar

[katex display=true]p= \sum_{i} \frac{n_i^2}{w_i}.[/katex]

– Hi ha en matemàtiques una fórmula prou coneguda, la que ens dóna la suma dels [katex]k[/katex] primers senars:

[katex display=true]k^2= 1+3+5+\dots + (2k-1).[/katex]

La utilitzarem per desenvolupar l’expressió [katex]p[/katex]:

[katex display=true]\begin{align}p=&\sum_i\frac{n_i^2}{w_i}=\sum_i\left(\frac{1+3+5+\dots+(2n_i-1)}{w_i}\right)\cr&=\sum_i\left(\frac{1}{w_i}+\frac{3} {w_i}+\frac 5 {w_i}+\dots+\frac {2n_i-1}{w_i}\right)\end{align}[/katex]

– Per minimitzar [katex]p[/katex] cal anar afegint els números [katex]\frac{t}{w_i}[/katex], amb [katex]t [/katex] un número senar, fins tenir-ne [katex]n[/katex], començant, per a cada [katex]i[/katex], per afegir [katex]\frac{1}{w_i}[/katex], després [katex]\frac{3}{w_i}[/katex], etc. Si imaginem que formem una taula amb tantes columnes com candidatures, on col·loquem, a la columna de la candidatura [katex]i[/katex], els quocients [katex]\frac{t}{w_i}[/katex] començant per [katex]t=1[/katex], els números de la columna creixen de dalt a baix. Per tant, per minimitzar [katex]p[/katex] cal agafar [katex]n[/katex] números de la taula el més baixos possible. Fixem-nos que agafar els [katex]n[/katex] números més petits dels [katex]\frac{t}{w_i}[/katex] equival a agafar els [katex]n[/katex] més grans entre els números de la forma [katex]\frac{w_i}{t}[/katex].

Per fi hem arribat a l’algorisme d’assignació d’escons de Sainte-Laguë! Posem les candidatures per columnes i anem dividint els seus vots pels números senars 1, 3, 5, 7, etc:

candidatura 1 candidatura 2 candidatura 3 candidatura 4
[katex]w_1=460[/katex] [katex]w_2=400[/katex] [katex]w_3=300[/katex] [katex]w_4=130[/katex]
[katex]{w_1}/{3}=153.3[/katex] [katex]{w_2}/{3}=133.3[/katex] [katex]{w_3}/{3}=100[/katex] [katex]{w_4}/{3}=43.3[/katex]
[katex]{w_1}/{5}=92.0[/katex] [katex]{w_2}/{5}=80.0[/katex] [katex]{w_3}/{5}=60.0[/katex] [katex]{w_4}/{5}=26.0[/katex]
[katex]\dots[/katex] [katex]\dots[/katex] [katex]\dots[/katex] [katex]\dots[/katex]

Ara agafem els [katex]n[/katex] números més grans d’aquesta taula i assignem escons com a la regla de D’Hondt. Observem que l’assignació d’escons seria la mateixa si haguéssim dividit per 1/2, 3/2, 5/2, 7/2, etc.

El divisor de la regla de Sainte-Laguë (càlcul del divisor i repartiment d’escons a partir d’aquest)

Un divisor s’obté multiplicant per 2 els números de la taula anterior i agafant el darrer dels que corresponen a escons assignats, que és 260. Equivalentment agafem el número de la taula corresponent a dividir els vots per 0.5, 1.5, 2.5, 3.5, etc.:

candidatura 1 candidatura 2 candidatura 3 candidatura 4
460/0.5 = 920 400/0.5 = 800 300/0.5 = 600 130/0.5 = 260
460/1.5 = 306.7 400/1.5 = 266.7 300/1.5 = 200 130/1.5 = 86.7
460/2.5 = 184 400/2.5 = 160 300/2.5 = 120 130/2.5 = 52
460/3.5 = 131.4 400/3.5 = 114.3 300/3.5 = 85.7 130/3.5 = 37.1

[katex display=true]\boxed{\,d=260\,}.[/katex]

Fixem-nos per exemple que, per la manera com hem calculat [katex]d[/katex], es compleix

[katex display=true]\frac{w_1}{2.5} < d <\frac{w_1}{1.5}[/katex]

que equival a

[katex display=true]1.5 < \frac{w_1}{d} < 2.5[/katex]

és a dir, que l’arrodoniment de [katex]\frac{w_1}{d}[/katex] és 2 (cal dir que si hi haguessin empats les desigualtats potser no serien totes estrictes).

Una cosa semblant succeeix amb la resta d’escons que hem assignat. Per exemple:

[katex display=true]\frac{w_4}{1.5} \le d < \frac{w_4}{0.5} \Longleftrightarrow 0.5 < \frac{w_4}{d} \le 1.5[/katex]

i per tant l’arrodoniment de [katex]\frac{w_4}{d}[/katex] és 1.

Hem vist doncs d’on prové un divisor i com es justifica l’assignació d’escons a partir d’aquest divisor.

Divisors de la regla de D’Hondt i de Sainte-Laguë

A l’entrada Repartir escons “proporcionalment” hem vist amb un exemple l’algorisme de repartiment d’escons per la regla de D’Hondt: fer una taula amb els vots de cada partit i anar-los dividint, successivament per 1,2,3, etc. I després agafar els 6 més grans (es tractava de repartir 6 escons).  El preu que pagava el partit que obtenia el darrer escó era 153.3 i aquest número funcionava com a divisor.

El divisor donava una manera alternativa de calcular els escons de cada partit: dividint el seu nombre de vots pel divisor i agafant la part entera. Però el número 153.3 calculat, era l’únic número que funcionava com a divisor en aquest sentit? Amb la taula dels quocients està clar que no, que si baixéssim lleugerament 153.3, encara tindríem un divisor. De fet 150 seria el preu del setè escó, si en donéssim 7, per tant mentre no arribem a 150, tindrem un divisor. A vegades s’agafa com a divisor la mitjana entre el preu del darrer escó assignat i el preu de l’escó següent si en donéssim un més, en aquest cas (153.3+150)/2.

Amb la regla de Sainte-Laguë succeeix el mateix. Podem donar com a divisor de Sainte-Lagüe el número que apareix en la taula quan s’assigna el darrer escó, però també la mitjana entre aquest divisor i el que correspondria a assignar un escó més.