A finals del segle XIX el matemàtic suec Edvard Phragmén va introduir diversos mètodes de representació proporcional sense partits. Aquests mètodes són bastant menys coneguts que el vot únic transferible. Però a diferència d’ell, tenen la virtut de ser consistents amb les variacions dels vots a favor d’un candidat!

Edvard Phragmén (1863-1937)

Versió basada en el vot d’aprovació

La versió bàsica del mètode de Phragmén no utilitza el vot preferencial sinó el vot d’aprovació: cada elector indica solament quins candidats considera acceptables per a representar el seu punt de vista, sense ordenar-los per ordre de preferència.

Els escons es van assignant un a un segons un criteri que procura que la representació dels electors a través dels diputats quedi el més repartida possible. Per fer-ho així, es porta compte de la quantitat de representació que va obtenint cada elector i cada vegada que s’escull un nou diputat es mira que els electors més afavorits ho siguin com menys millor.

En general, els càlculs convé programar-los mitjançant un ordinador (tot i que són més elementals que en les formes més elaborades del vot únic transferible). Tanmateix, per acabar d’entendre’n la idea, no estarà de més veure’n els detalls en un cas concret.

Exemple

Suposem, per exemple, que els vots fossin els mateixos de més amunt però sense preferències, és a dir:

43 a b
21 b
20 c b
2 d b
19 d c

de manera que hi ha 43 electors que aproven els candidats a i b, 21 que només aproven b, etcètera.

D’acord amb el seu objectiu de repartir la representació tot el que es pugui, el mètode de Phragmén sempre assigna el primer escó al candidat més aprovat, que en aquest cas és b, amb 43+21+20+2 = 86 vots. La representació que proporciona aquest candidat es reparteix per igual entre els 86 electors que l’han aprovat, de manera que cadascun d’ells obté una representació de 1/86 = 0,0116 escons.

Considerem ara el segon escó. Si el donéssim al candidat a, llavors resultarien beneficiats els 43 primers electors. Però cadascun d’ells ja té 1/86 escons a través de b, de manera que en total tindria 1/86 + 1/43 = 0.0349 escons.

Anem a veure què passa si donem el segon escó al candidat c. Aquest té 20+19 = 39 aprovacions. Si el distribuíssim per igual entre tots els electors que l’han aprovat, els electors “cd” obtindrien una representació de 1/39 = 0.0256 escons, mentre que els electors “ab” i els “bc”, que ja tenen representació a través de b, acumularien cadascun una representació de 1/86 + 1/39 = 0.0373 escons. Una altra possibilitat seria que el candidat c representi només als electors que encara no tenen representació; però llavors cadascun d’aquests obté una representació de 1/19 = 0.0526 escons, que constitueix un privilegi encara superior al (de 0.0373 escons) que s’obtenia amb una distribució uniforme. Davant d’això, el mètode de Phragmén utilitza una opció intermitja en la qual la representació que proporciona c s’assigna majorment als electors que han aprovat aquest candidat i encara no tenien representació, però també n’assigna una part als que ja en tenien, de manera que els 39 electors que han aprovat c obtinguin tots ells exactament el mateix valor. El càlcul és prou fàcil: com que n’hi ha 20 que ja tenen cadascun d’ells una representació de 1/86 escons i ara estem afegint 1 diputat, el valor comú que s’obtindrà és de (20/86 + 1) / 39 = 0.0316 escons.

Si en lloc de a o c considerem el candidat d, llavors uns càlculs anàlegs mostren que en aquest cas els electors més afavorits obtenen cadascun (2/86 + 1)/21 = 0.0487 escons.

Per tant, a l’hora de triar a quin candidat s’assigna el segon escó, l’opció que minimitza l’avantatge dels electors més afavorits és el candidat c.

Després d’això, els electors queden representats de la manera que mostra la taula següent, on cada casella de la part central es refereix a un determinat tipus d’electors i a un candidat concret. El valor que hi apareix és la fracció d’aquest candidat que correspon a cada elector del tipus que s’està considerant. Sumant aquestes fraccions de candidat s’obté la quantitat total de representació que obté cada elector (d’aquell tipus), la qual es mostra a la dreta en la columna “rtpe” (representació total per elector). La fila inferior és el resultat de considerar tots els electors, per a la qual cosa es té en compte la quantitat que n’hi ha de cada tipus. Així, en la columna corresponent al candidat c hi apareix 20 × 0,0200 + 19 × 0.0316 = 1, que constitueix una comprovació que les fraccions en què hem dividit el candidat c totalitzen efectivament 1 escó.

quants a b c d e rtpe
electors “ab” 43 0 0.0116 0 0 0 0.0116
electors “b” 21 0 0.0116 0 0 0 0.0116
electors “bc” 20 0 0.0116 0.0200 0 0 0.0316
electors “bd” 2 0 0.0116 0 0 0 0.0116
electors “cd” 19 0 0 0.0316 0 0 0.0316
total 105 0 1 1 0 0 2

Taula 1

Si hi haguessin més escons a repartir —com no podria ser d’una altra manera si volguessim acostar-nos més a una representació proporcional— es repetiria el mateix procediment fins arribar al nombre de diputats que s’hagués establert (naturalment, hi hauria més candidats i més tipus de vots).

Consistència ordinal

Amb el mètode de Phragmén està garantit que si els vots varien en el sentit d’afegir aprovacions a favor d’un determinat candidat (sense modificar en cap manera les aprovacions dels altres) i aquest candidat resultava elegit abans de la variació, llavors també resulta elegit després de la variació. Phragmén donava molt d’importància a aquesta propietat (tot i que no sembla que fos conscient de les mancances del vot únic transferible en aquest sentit).

On està la proporcionalitat?

En el fons, una proporcionalitat no és més que una igualtat. En el present context, les quantitats que haurien de ser iguals son les fraccions de parlament que són assignades als diferents electors per donar-los representació, és a dir, les quantitats que apareixen a la dreta de la taula 1. Tanmateix, en general aquestes quantitats no poden ser exactament iguals, de manera que ens hem de contentar que siguin “el més iguals possible” en algun sentit que cal concretar (ja que són possibles diverses interpretacions, com en el cas de llistes tancades).

El mètode de Phragmén ho concreta ben bé com la regla de D’Hondt en la seva formulació seqüencial: Els escons s’assignen un després de l’altre i cada assignació es fa amb el criteri de minimitzar la representació dels electors més afavorits. Tal com hem vist, la diferència respecte al cas de llistes tancades és que el repartiment d’un candidat entre els electors que l’han aprovat no és sempre homogeni, sinó que es té en compte la diferent representació que ja puguin tenir aquests electors.

Com es pot veure en la taula 1, les representacions que obtenen els electors no són pas iguals: hi ha 43+21+2 = 66 electors que obtenen 0,0116 escons cadascun, i 20+19 = 39 electors que n’obtenen 0,0316. Tanmateix, això és el millor que es pot aconseguir amb dos diputats i el criteri que hem dit. Per poder acostar-se més a la proporcionalitat no hi ha més remei que disposar de més escons (i més candidats).

Casos especials

D’acord amb el que hem dit, en el cas de llistes tancades el mètode de Phragmén es redueix a la regla de D’Hondt.

També és interessant observar que en el cas extrem (totalment allunyat de la representació proporcional) de voler elegir un sol representant —com ara un president— el mètode de Phragmén es redueix a l’aplicació habitual del vot d’aprovació: cada elector indica tots els candidats que li semblen acceptables i s’elegeix el que apareix més vegades. Aquest procediment és molt atractiu en comparació amb la utilització del vot uninominal, en què cada elector no pot donar més que un sol nom.

Variant preferencial

A més del procediment que hem descrit, Phragmén va estudiar diverses variants força interessants. De totes elles, l’única que s’ha posat en pràctica és una variant que usa el vot preferencial. A diferència del vot únic transferible, aquesta variant compleix la condició de consistència ordinal: un candidat no deixa mai de ser elegit a conseqüència de que alguns electors l’hagin desplaçat a posicions més preferents.

Això s’aconsegueix a costa de cedir en altres aspectes. Per exemple, en el cas extrem de voler elegir un sol representant (i renunciar per tant a cap proporcionalitat) aquesta variant elegeix sempre el candidat més votat com a primera opció, independentment de si se supera o no cap quota predeterminada.

Aquesta variant preferencial forma part del sistema electoral suec des de 1921. Tanmateix, està molt desvirtuada pel fet que les llistes no són totalment obertes, sinó que cada elector ha de restringir la seva llista a una sola candidatura de partit.

Referències

X. Mora, M. Oliver, 2015. Eleccions mitjançant el vot d’aprovació: El mètode de Phragmén i algunes variants. Butlletí de la Societat Catalana de Matemàtiques, vol. 30, p. 57–101 (enllaç)